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弱測量

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量子力學(以及量子計算量子信息)中,弱測量是一種量子測量,其觀察者平均來說只獲得很少的有關系統的信息,但對狀態的干擾也很小。[1]根據Paul Busch英語Paul_Busch_(physicist)的定理[2]可知,系統必然會受到測量的干擾。在文獻中,弱測量也被稱為不清晰(unsharp)[3]、模糊(fuzzy)[3] 、遲鈍(dull)[4] 、噪聲式(noisy)[5] 、漸進(approximate)[6]或平和(gentle)的測量。此外,弱測量常常與一個不同但相關的概念「弱值」相混淆。[7]

歷史

弱測量最初是在量子系統[8]的弱連續測量(即量子濾波和量子軌跡)的背景下考慮的。連續量子測量的物理學如下。考慮使用一個輔助系統(例如電流)來探測量子系統,系統和探測器之間的相互作用使兩者相互關聯。通常,相互作用僅使系統與輔助系統具有弱關聯(具體而言,相互作用幺正算子僅需微擾展開到一階或二階)。通過測量輔助系統並利用量子測量理論,可以確定基於測量結果的系統狀態。為了實現有效的測量,必須耦合進多個輔助系統並測量。在極限情況下,存在一系列輔助系統,使得測量過程可以在時間上是連續的。這一過程首先由以下學者表述:Michael B. Mensky; [9] [10] Viacheslav Belavkin; [11] [12] Alberto Barchielli, L. Lanz, GM Prosperi; [13] Barchielli; [14] Carlton Caves; [15] [16] Caves, Gerald J. Milburn. [17] 後來 Howard Carmichael [18]和 Howard M.Wiseman [19]也為該領域做出了重要貢獻。

弱測量的概念經常被錯誤地歸於 Yakir Aharonov 、 David Albert 和 Lev Vaidman 。[7]在他們的文章中,他們考慮了一個弱的測量的例子(也許也撞上了「弱測量」這個短語),並以此作為動機來定義弱值(他們在此首次定義了弱值)。

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數學表述

對於弱測量,尚無普遍接受的定義。一種方法是將弱測量聲明為這樣一種廣義測量,其克勞斯算子中的一些或全部接近於恆等算子[20]下面採用的方法是使兩個系統發生弱相互作用,然後測量其中一個系統。[21]詳細介紹這種方法之後,我們將通過示例進行說明。

弱相互作用和輔助耦合測量

考慮一個系統,其初始的量子態 ,同時輔助系統處於 ,聯合的初始狀態則為 。這兩個系統依照哈密頓算子 相互作用,其生成的時間演化算子 (取 的單位制), 其中 是「相互作用強度」且具有時間倒數的量綱。假設相互作用時間固定為 很小以至於 關於 級數展開給出

由於在微擾論中只需要將幺正算子展開到低階,所以稱其為一個弱的相互作用。此外,幺正算子的主要部分是恆等算子,因為 很小,這意味着相互作用後的狀態與初始狀態並沒有太多區別。相互作用後系統的聯合狀態為

現在我們對輔助系統進行測量來了解系統,這稱為輔助系統耦合測量。我們將考慮(輔助系統上的)在基 下的測量,其中 滿足 。兩個系統上的測量都由到聯合狀態 投影算子 來描述。從量子測量理論可知測量後的條件狀態是

其中 歸一化因子。注意輔助系統狀態記錄了測量的結果。 是系統的希爾伯特空間上的算子,稱為克勞斯算子

在這些克勞斯算子對應的測量後,聯合系統的狀態為

算子 是所謂的正算子測量的元素,其須滿足 從而使得相應的概率之和為一: 。由於輔助系統不再關聯於主系統,它只是記錄測量的結果,我們可以跡掉它。這做法將給出主系統本身的條件狀態:

這裡仍用 標記測量結果。事實上,這些考慮使得人們得以導出量子軌跡

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克勞斯算子示例

我們將使用 Barchielli, Lanz, Prosperi[13]以及 Caves, Milburn[17]給出的高斯型克勞斯算子的典型例子。取 ,其中兩個系統的位置和動量算子滿足通常的正則對易關係 。取輔助系統的初態為一高斯分布

輔助系統的位置波函數

前文的克勞斯算子(在前文的表達式中取 )為

而相應的正算子測量的元素是

且服從 。在文獻中經常能看到另一種表現形式。使用位置算子的譜表示 ,有

注意 [17]也就是說,在特定的極限下,這些算子趨於對位置的強測量;對於 的其他值,這種測量則稱為是有限強度的;對於 的極限情況,則說測量是弱的。

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信息獲取與狀態擾動的得失交換

如前所述,Busch的定理[2]阻止了免費午餐的出現:沒有對態的擾動就無法取得信息。然而,信息獲取和態的擾動間的得失交換已被許多作者刻畫,其中包括 C.A. Fuchs 和 Asher Peres;[22] Fuchs; [23] Fuchs, KA. Jacobs;[24] K. Banaszek. [25]

最近,人們在所謂的「溫和測量引理」的語境下檢驗了信息獲取與態的擾動間的交換關係。[6][26]

應用

從很早以前就已經很清楚,弱測量的主要用途是用於量子系統的反饋控制或自適應測量。事實上,這是 Belavkin 大部分工作的動機,而 Caves 和 Milburn 也給出了一個明確的例子。自適應弱測量的一個早期應用是Dolinar接收器英語Dolinar receiver[27]該接收器已在實驗上實現。[28][29]弱測量的另一個有趣的應用是使用弱測量,然後跟一個幺正算子(可能依賴於弱測量的結果)來合成其他廣義測量。[20] Wiseman 和 Milburn 的書[21]是關於許多現代發展的良好參考資料。

延伸閱讀

參考資料

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