彭納投影

彭納投影，又稱等積准圓錐投影，有時也被稱為「戰爭檔案投影」（Dépôt de la Guerre projection）或「西爾維納斯投影」（Sylvanus projection）^[1]:104。該投影法的命名來自常常使用該方法的法國水利工程師里戈貝勒特·彭納(Rigobert Bonne)。

彭納投影,以北緯四十五度緯線為標準緯線，能看到歐亞大陸變形較小，而遠離該緯線的非洲、南美洲、大洋洲變形較大

該投影法的緯線為同心圓弧，圓心位於中央經線上，同一圓弧上兩點的距離經比例尺換算後與實際距離相等；中心經線以及一根特殊的標準緯線保持為直線，其餘經線為對稱於中央經線的曲線。通過變更中心經線，可以繪製不同的映射地圖。

彭納投影中的面積與實際面積相等，沒有面積變形；中央經線及標準緯線沒有變形，離這兩條線越遠，變形越大，故全尺寸的彭納投影地圖是一個複雜的心形圖案，適用於"T"形區域。所以現在彭納投影多用於編制小比例尺的大洲圖，比如歐亞大陸。

換算

1511年西爾維納斯繪製的地圖

彭納投影定義為：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin E\\y&=\cot \varphi _{1}-\rho \cos E\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\cot \varphi _{1}+\varphi _{1}-\varphi \\E&={\frac {(\lambda -\lambda _{0})\cos \varphi }{\rho }}\end{aligned}}}$

此處φ為緯度，λ為經度，λ₀是所選取的中央經線的經度，而φ₁是所選取的標準緯線的緯度^[2]

反投影關係為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=\cot \varphi _{1}+\varphi _{1}-\rho \\\lambda &=\lambda _{0}+{\frac {\rho }{\cos \varphi }}\arctan \left({\frac {x}{\cot \varphi _{1}-y}}\right)\end{aligned}}}$

其中

${\displaystyle \rho =\pm {\sqrt {x^{2}+\left(\cot \varphi _{1}-y\right)^{2}}}}$

taking the sign of φ₁.

特殊的彭納投影包括正弦投影（φ₁=0，即赤道）和維爾納投影（φ₁=90°即南極或北極)。所以彭納投影可以看作是維爾納投影向正弦投影展開中的一系列中間投影^[3]