拋體運動

拋體運動是指將物體以一定的初速度向空中拋出，僅在重力作用下物體所做的運動。^[1]該運動是曲線運動的一種，可以看成水平方向上的勻速直線運動和垂直方向上的自由落體運動的合成。伽利略是第一位正確指出拋體運動本質的物理學家。^[2]

拋體運動的軌跡是拋物線

研究歷史

拋體運動有着長遠的研究歷史，其研究源頭可追溯到古希臘。

亞里士多德

亞里士多德認為運動分為強迫運動和自然運動。在他的理論中，拋體需要外力推動，故屬於強迫運動。拋體在向前運動時會在後方形成一塊虛空，周圍的氣體會迅速的填補這塊虛空，從而提供一個使拋體向前的力。拋體前面的空氣阻礙運動，後面的空氣推動運動，這保證了拋體運動即連續，又有限^[1]。

中世紀時期

公元6世紀，有學者質疑亞里士多德的理論。如果拋體和空氣直接接觸就可以產生並維持運動，那麼只需要擾動拋體後方的空氣就可讓拋體動起來。這顯然是不對的。這位學者以一個無形的力替代了空氣，認為有一股力拋體在被拋出時注入了拋體，並且拋體離開拋射者手中後力仍然存在。^[1]

伽利略

伽利略是第一個正確指出拋體運動的本質的人，他在他的著作《關於兩門新科學的對話》中寫道：「設想任意一個質點沿水平面無摩擦地運動……如果這個平面是有限的，該質點就將穿過平面的邊界，在它原先所做的勻速的、永恆的運動外，由於自身的重量而獲得一個向下運動的傾向，產生的運動是一種水平勻速運動和另一種豎直加速運動的合成。」他同時用數學手段證明了拋體運動的軌跡是拋物線。^[1]

真空中的軌道

加速度

拋體運動的軌跡是曲線，因此速度矢量一直發生改變。根據牛頓第一定律，拋體受到的外力不為0。由於拋體在真空中運動，不受空氣阻力，所以拋體只在豎直方向上受重力的影響。拋體的加速度為

${\displaystyle {\begin{cases}a_{x}=0\\a_{y}=-g\end{cases}}}$

其中${\displaystyle g}$為重力加速度，這裡選擇${\displaystyle -g}$是因為${\displaystyle y}$軸的正方向向上。

速度

拋體運動在不同方向上的速度分量

假設拋體的初速度為${\displaystyle v_{0}}$，速度與地面（${\displaystyle x}$軸）的夾角為${\displaystyle \theta }$，運動時間為${\displaystyle t}$。可以先分解初速度，得到它在${\displaystyle x}$軸和${\displaystyle y}$軸上的分量，然後對加速度進行積分，得到速度關於時間的關係^[2]。

${\displaystyle {\begin{cases}v_{x}=v_{0}\cos \theta \\v_{y}=v_{0}\sin \theta -gt\\\end{cases}}}$

位移

相同初速度下，不同拋射角對應的不同運動軌跡，這些點的間隔為0.05秒。它們的尾巴長度與速度成正比。${\displaystyle R}$為射程，${\displaystyle H}$為射高，${\displaystyle T}$為運動時間

對速度進行積分可以得到任意時刻拋體的水平和豎直方向位移^[2]： ${\displaystyle {\begin{cases}x=v_{0}t\cos \theta \\y=v_{0}t\sin \theta -{\dfrac {1}{2}}gt^{2}\end{cases}}}$

這是拋體運動的運動軌跡的參數方程。消去參數${\displaystyle t}$，可得到拋體運動的軌跡方程：

${\displaystyle y=x\tan \theta -{\dfrac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x^{2}}$

這是一個拋物線的方程（事實上，拋物線的名字來源於拋體運動）。當${\displaystyle \theta =0}$時，對應的運動稱為平拋運動。

射程

射程是拋體落地時距離拋射點的距離。拋體落地時，其${\displaystyle y}$軸坐標為${\displaystyle 0}$，帶入拋體運動的軌跡方程，可以解出拋體的射程^[3]：

${\displaystyle R={\dfrac {2v_{0}^{2}\sin \theta \cos \theta }{g}}={\dfrac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

可以發現當${\displaystyle \theta ={\dfrac {\pi }{4}}=45^{\circ }}$時，拋體的射程最大。${\displaystyle \sin \theta }$和${\displaystyle \cos \theta }$兩個函數在${\displaystyle \theta ={\dfrac {\pi }{4}}}$兩端時對稱的，因此對於相同的初速度，當${\displaystyle \alpha +\beta ={\dfrac {\pi }{2}}}$時，${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$對應的拋體運動射程相同。

射高

射高是拋體在運動過程中達到的最高高度，對應${\displaystyle v_{y}=0}$，因此對應的時刻是

${\displaystyle t_{H}={\dfrac {v_{0}\sin \theta }{g}}}$

帶入${\displaystyle y}$方向上的位移時間關係式，可以得到射高的表達式^[3]

${\displaystyle H={\dfrac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}}$

參見

• 物理主題

• 平移運動
• 勻速運動
• 曲線運動