拉克斯-米爾格拉姆定理

拉克斯－米爾格拉姆定理是數學泛函分析的定理，以彼得·拉克斯和阿瑟·米爾格拉姆命名。這定理可用來藉弱形式求解偏微分方程，因此主要用作有限元法的理論基礎。

敘述

設

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$是實希爾伯特空間，其內積記作${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$，導出範數${\displaystyle \|\cdot \|}$，
• ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$是雙線性型，使得

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$上連續：

${\displaystyle \exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$，

• 在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上強制（有稱為${\displaystyle {\mathcal {H}}}$－橢圓性)：

${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$，

• ${\displaystyle L}$是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上的連續線性型。

那麼存在唯一的${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$，使得對所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$都有${\displaystyle a(u,v)=Lv}$：

${\displaystyle (1)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=Lv}$。

而且如果${\displaystyle a}$是對稱的，那麼${\displaystyle u}$是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$中唯一的元素，使得以下泛函取最小值${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$，${\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-Lv}$對所有${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$，即：

${\displaystyle (2)\quad \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}$。

證明

一般情形

套用里斯表示定理到連續線性型上，可知存在唯一的${\displaystyle f\in {\mathcal {H}}}$，使得${\displaystyle Lv=\langle f,v\rangle }$對任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$成立。

對所有${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$，映射${\displaystyle v\mapsto a(u,v)}$是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上連續線性型，因此同樣可知存在唯一的${\displaystyle A_{u}\in {\mathcal {H}}}$，使得${\displaystyle a(u,v)=\langle A_{u},v\rangle }$對任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$成立。易知算子${\displaystyle A:u\mapsto A_{u}}$ 是一個${\displaystyle {\mathcal {H}}}$上連續線性自同態。由此可把${\displaystyle (1)}$表示成如下等價形式：

${\displaystyle \exists !\ u\in {\mathcal {H}},\ Au=f}$

要證明此命題，只要證得${\displaystyle A}$是從${\displaystyle {\mathcal {H}}}$到${\displaystyle {\mathcal {H}}}$的雙射。首先證明它是單射，再證它是滿射。

從${\displaystyle a}$的強制性，使用柯西－施瓦茨不等式，得到對任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \alpha \|v\|^{2}\leq a(v,v)=\langle Av,v\rangle \leq \|Av\|\|v\|}$

從而知對任何${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \|Av\|\geq \alpha \|v\|}$ (*)。

這證明了${\displaystyle A}$是單射。

要證明滿射，考慮算子${\displaystyle A}$在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$內的像${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$。

不等式(*)表示，如${\displaystyle Au_{n}}$是柯西序列，那麼${\displaystyle u_{n}}$ 是${\displaystyle {\mathcal {H}}}$內的柯西序列。由${\displaystyle {\mathcal {H}}}$的完備性，${\displaystyle u_{n}}$收斂至${\displaystyle u\in {\mathcal {H}}}$。因${\displaystyle A}$連續，得出${\displaystyle Au_{n}}$收斂至${\displaystyle Au}$。

${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$因此為${\displaystyle {\mathcal {H}}}$中的閉子空間，由投影定理可知${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {Z}}\oplus {\mathcal {Z}}^{\perp }}$。

再設元素${\displaystyle w\in {\mathcal {Z}}^{\perp }}$，從定義有${\displaystyle \langle Aw,w\rangle =0}$，因此

${\displaystyle \alpha \|w\|^{2}\leq a(w,w)=\langle Aw,w\rangle =0}$

故得${\displaystyle w=0}$。所以${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\perp }}$為${\displaystyle \{0\}}$，證得${\displaystyle A}$是滿射。

自同態${\displaystyle A}$是雙射，故在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$內存在唯一的${\displaystyle u}$使得${\displaystyle Au=f}$，且可以由${\displaystyle u=A^{-1}f}$得出。

附註

不用求出${\displaystyle u}$，有其範數的上界估計

${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {\|L\|'}{\alpha }}}$

其中${\displaystyle \|\cdot \|'}$表示對偶空間${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$的範數。

對稱情形

如果雙線性型${\displaystyle a}$對稱，那麼對所有${\displaystyle w\in {\mathcal {H}}}$有：

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\Big (}a(u,w)-Lw{\Big )}+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$

因${\displaystyle u}$是命題(1)的唯一解，有

${\displaystyle J(u+w)=J(u)+{\frac {1}{2}}a(w,w)}$

從${\displaystyle a}$的強制性有：

${\displaystyle J(u+w)\geq J(u)+{\frac {\alpha }{2}}\|w\|^{2}}$

取${\displaystyle v=u+w}$，從上式有${\displaystyle J(u)\leq J(v)}$對任意${\displaystyle v\in {\mathcal {H}}}$成立，因而得到${\displaystyle (2)}$的結果。

應用

這定理是有限元法的基礎。實際上，若不在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$內求${\displaystyle u}$，而是在${\displaystyle {\mathcal {H}}}$的有限${\displaystyle n}$維子空間${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$內求${\displaystyle u_{n}}$，那麼

• 如果${\displaystyle a}$對稱，以${\displaystyle a}$為內積，${\displaystyle u_{n}}$是${\displaystyle u}$的投影。
• 給出${\displaystyle {\mathcal {H}}_{n}}$的基${\displaystyle (\varphi _{i})}$，上述問題化為求解線性方程組：

${\displaystyle {\underline {\underline {A}}}{\underline {u_{n}}}={\underline {b}}}$

其中${\displaystyle A_{ij}=a(\varphi _{j},\varphi _{i})}$，${\displaystyle b_{i}=L\varphi _{i}}$。

泛函分析中的定理

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