擬等距同構

擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。

定義

設有兩個度量空間${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$，並有（未必連續的）映射${\displaystyle f:X\to Y}$。若存在常數${\displaystyle L\geq 1}$, ${\displaystyle C\geq 0}$，使得對所有${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$，有

${\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C}$

那麼稱映射 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle (L,C)}$-粗利普希茨的。這條不等式，可視為 ${\displaystyle f}$ 在長距離時差不多是 ${\displaystyle L}$-利普希茨連續的。

若對所有${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$，有

${\displaystyle {\frac {1}{L}}d_{X}(x_{1},x_{2})-C\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C}$

那麼稱映射 ${\displaystyle f}$ 是一個 ${\displaystyle (L,C)}$-擬等距嵌入。雖然 ${\displaystyle f}$ 不一定符合平常意義上的嵌入，即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，但是對兩個相隔得足夠遠的點，這兩點的像也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義：

• 若${\displaystyle f:X\to Y}$是 ${\displaystyle (L,C)}$-粗利普希茨映射，且存在 ${\displaystyle (L,C)}$-粗利普希茨映射${\displaystyle g:Y\to X}$，使得對所有${\displaystyle x\in X}$，所有${\displaystyle y\in Y}$，都有

${\displaystyle d_{X}(g(f(x)),x)\leq C}$

${\displaystyle d_{Y}(f(g(y)),y)\leq C}$

那麼稱映射 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle (L,C)}$-擬等距映射。這兩條不等式，可視為在長距離時，${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$差不多是互為逆映射。

• ${\displaystyle f}$ 是一個 ${\displaystyle (L,C)}$-擬等距嵌入，並且對任一點${\displaystyle y\in Y}$，都存在${\displaystyle x\in X}$使

${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))\leq C}$

那麼稱映射 ${\displaystyle f}$ 為 ${\displaystyle (L,C)}$-擬等距映射。這條不等式，是說 ${\displaystyle Y}$中每一點距離 ${\displaystyle X}$ 的像 ${\displaystyle f(X)}$ 都不超過 ${\displaystyle C}$。對這定義的 ${\displaystyle f}$，可以構造前一定義的 ${\displaystyle g}$ 如下：對每一點${\displaystyle y\in Y}$，取任一個${\displaystyle x\in X}$使得${\displaystyle d_{Y}(y,f(x))\leq C}$，並令${\displaystyle g(y):=x}$。

這兩個定義中的 ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle C}$值可能不同。

兩個度量空間${\displaystyle (X,d_{X})}$, ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$若存在 ${\displaystyle (L,C)}$-擬等距映射${\displaystyle f}$，則${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$稱為 ${\displaystyle (L,C)}$-擬等距同構。^[1]若常數 ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle C}$ 的值不要緊時，可以簡單地稱 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ 為擬等距同構。

對度量空間 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$，如果${\displaystyle f_{1}:X\to Y}$, ${\displaystyle f_{2}:Y\to Z}$都是擬等距映射，那麼${\displaystyle f_{2}\circ f_{1}:X\to Z}$也是擬等距映射。

例子

設函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z} }$，以四捨五入方式，從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一，可以取 ${\displaystyle L=1}$, ${\displaystyle C=1}$，而${\displaystyle g:\mathbb {Z} \to \mathbb {R} }$可用${\displaystyle g(x)=x}$。因此${\displaystyle \mathbb {R} }$和${\displaystyle \mathbb {Z} }$是擬等距同構。

對任何正整數 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$和${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$間也有類似的擬等距映射，所以${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$和${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$是擬等距同構。

任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

群論上的應用

一個有限生成群 ${\displaystyle G}$，其中任何兩個有限生成集合 ${\displaystyle S}$, ${\displaystyle T}$ 賦予 ${\displaystyle G}$ 兩個字度量${\displaystyle d_{S}}$, ${\displaystyle d_{T}}$，那麼${\displaystyle (G,d_{S})}$和${\displaystyle (G,d_{T})}$是擬等距同構。所以縱使 ${\displaystyle G}$ 可以有多種不同的字度量，但都對應同一個擬等距同構類。因此，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質，凡是於擬等距映射下不變的，都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間，並滿足一些條件，根據施瓦茨－米爾諾引理，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間，得知群的一些性質。