普朗歇爾定理

在數學中， 普朗歇爾定理（有時稱為 Parseval-Plancherel 恆等式^[1] ）是調和分析的一個結果，它由米歇爾·普朗歇爾於1910年證明。它指出一個函數的模的平方的積分等於其頻譜的模平方的積分。也就是說，如果 ${\displaystyle f(x)}$ 是實軸上的函數，且有頻譜 ${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$ ，那麼

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi }$

更精確的表述是，如果一個函數同時在 L^p 空間 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ 和 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 中，那麼它的傅里葉變換也在 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 中，且傅里葉變換是關於 ${\displaystyle L^{2}}$ 範數的等距映射。這意味着， ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$ 上的傅里葉變換可以唯一地擴張為一個 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )}$ 的等距同構 ，後者有時稱為普朗歇爾變換。這個等距同構實際上是一個幺正映射。實際上，這使得平方可積函數的傅里葉變換成為可能。

普朗歇爾定理在 n 維歐幾里德空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上仍然有效 。更一般地，該定理對局部緊阿貝爾群也成立。對於滿足某些技術上的假定的非交換局部緊群，還有另一個版本的普朗歇爾定理。這是非交換調和分析的主題。

傅里葉變換的幺正性在科學和工程領域通常被稱為帕塞瓦爾定理，該定理基於一個用於證明傅里葉級數幺正性的早期結果（但不那麼具有一般性）。

藉助極化恆等式，我們還可以將普朗歇爾定理用於計算 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 中兩個函數的內積。也就是說，設 ${\displaystyle f(x)}$ 和 ${\displaystyle g(x)}$ 是兩個 ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ 中的函數，而 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 表示普朗歇爾變換，則$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,}$$若 ${\displaystyle f(x)}$ 和 ${\displaystyle g(x)}$ 還是 ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ 函數，那麼還有$${\displaystyle ({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$和$${\displaystyle ({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,}$$於是有

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .}$