曲線的微分幾何

本文只考慮歐幾里得空間中的曲線。大部分概念對黎曼與偽黎曼流形中曲線有類似結論。對任意空間中曲線的討論，參見主條目曲線。

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。

從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為參數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出「最合適」的坐標系。

曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長（「自然參數」）參數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何信息，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變量曲線的「曲率」和「撓率」來衡量。曲線基本定理斷言這些不變量的信息完全確定了曲線。

定義

主條目：曲線

設 ${\displaystyle n}$ 是一個正整數，${\displaystyle r}$ 是正整數或 ${\displaystyle \infty }$，${\displaystyle I}$ 是實數非空區間，${\displaystyle t}$ 屬於 ${\displaystyle I}$。一個${\displaystyle C^{r}}$ 類（即 ${\displaystyle \gamma }$ 為 ${\displaystyle r}$ 次連續可微）向量值函數

${\displaystyle \mathbf {\gamma } :I\to {\mathbb {R} }^{n}}$

稱為一條 ${\displaystyle C^{r}}$ 類參數曲線或曲線 ${\displaystyle \gamma }$ 的一個 ${\displaystyle C^{r}}$ 參數化，${\displaystyle t}$ 稱為曲線 ${\displaystyle \gamma }$ 的參數，${\displaystyle \gamma (I)}$ 稱為曲線的像。將參數曲線 ${\displaystyle \gamma }$ 和它的像 ${\displaystyle \gamma (I)}$ 區別開來是非常重要的，因為一個給定的${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$的子集可以是許多不同的參數曲線的像。

可以想象參數 ${\displaystyle t}$ 代表時間，而曲線 ${\displaystyle \gamma (t)}$ 作為空間中一個運動粒子軌跡。

如果 I 是閉區間 [a, b]，我們稱 γ(a) 為曲線 γ 的起點而 γ(b) 為終點。

如果 ${\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)}$，我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 C^r-曲線，如果 γ^(k)(a) = γ^(k)(b) 對所有 k ≤ r。

如果 ${\displaystyle \gamma :(a,b)\to \mathbb {R} ^{n}}$ 為單射，我們稱為簡單曲線。

如果參數曲線 ${\displaystyle \gamma }$ 局部可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是 ${\displaystyle C^{\omega }}$ 類。

記號 -${\displaystyle \gamma }$ 表示朝相反的方向運動的曲線。

一條 ${\displaystyle C^{k}}$-曲線

${\displaystyle \gamma :[a,b]\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$

稱為 ${\displaystyle m}$ 階正則當且僅當對任何 ${\displaystyle t}$ 屬於${\displaystyle I}$

${\displaystyle \lbrace \gamma '(t),\gamma ''(t),...,\gamma ^{(m)}(t)\rbrace {\mbox{, }}m\leq k}$

在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中線性無關。

特別地，一條 ${\displaystyle C^{1}}$-曲線 ${\displaystyle \gamma }$ 是正則的如果

${\displaystyle \gamma '(t)\neq 0}$ 對任何 ${\displaystyle t\in I\,.}$

重新參數化與等價關係

參見：位置向量和向量值函數

給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的參數化。微分幾何旨在描述在一定的參數化下不變的性質。所以我們需在所有參數曲線集合上定義一種合適的等價關係。曲線的微分幾何性質（長度，Frenet 標架和廣義曲率）在重新參數化下不變從而滿足等價類性質。這個等價類稱為 C^r 曲線，是曲線的微分幾何研究的中心。

兩個 C^r 參數曲線

${\displaystyle \mathbf {\gamma _{1}} :I_{1}\to R^{n}}$

與

${\displaystyle \mathbf {\gamma _{2}} :I_{2}\to R^{n}}$

要稱為等價，就要存在一個 C^r 雙射

${\displaystyle \phi :I_{1}\to I_{2}}$

使得

${\displaystyle \phi '(t)\neq 0\qquad (t\in I_{1})}$

和

${\displaystyle \mathbf {\gamma _{2}} (\phi (t))=\mathbf {\gamma _{1}} (t)\qquad (t\in I_{1})\,.}$

γ₂ 稱為 γ₁ 的重新參數化。這種 γ₁ 的重新參數化在所有參數 C^r 曲線的集合上定義了一種等價關係，其等價類稱為 C^r 曲線。

對定向 C^r 曲線，我們可以定義一種「加細」的等價關係，要求 φ 滿足 φ'(t) > 0。

等價的 C^r 曲線有相同的像；等價的定向 C^r 曲線有相同的運動方向。

長度與自然參數化

主條目：弧長

參見：曲線 § 曲線的長度

C¹ 曲線 γ : [a, b] → Rⁿ 的長度 l 可以定義為

${\displaystyle l=\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert dt.}$

曲線的長度在重參數化下保持不變，從而是曲線的一個微分幾何性質。

對任何正則 C^r （r 至少為 1）曲線 γ: [a, b] → Rⁿ 我們可以定義一個函數

${\displaystyle s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert \mathbf {\gamma } '(x)\vert dx.}$

寫成

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\gamma } (s)}}=\gamma (t(s))}$

這裡 t(s) 是 s(t) 的逆函數，我們得到 γ 的一個新參數化 ${\displaystyle {\bar {\gamma }}}$，稱為自然、弧長或單位速度參數化；參數 s(t) 稱為 γ 的自然參數。

我們偏愛這個參數，因為自然參數 s(t) 以單位速度轉動 γ 的像，所以

${\displaystyle \vert {\overline {\mathbf {\gamma } '(s(t))}}\vert =1\qquad (t\in I).}$

在實際中常常很難計算出一條曲線的自然參數，但在理論討論中很有用。

給定一條參數化曲線 γ(t) 的自然參數化是在差一個參數移動的意義下是惟一的。

數量

${\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\vert \mathbf {\gamma } '(t)\vert ^{2}dt}$

經常稱為曲線的能量或作用量；這個名稱是有理由的，因為測地線方程是這個作用量的歐拉-拉格朗日運動方程。

Frenet 標架

參見：弗勒內-塞雷公式

空間曲線一點的 Frenet 標架示意圖。 T 是單位切向量，P 為單位法向量，B 是次法向量。

一個 Frenet 標架是一個移動的參考標架，由描述曲線在每一點 γ(t) 局部性質的n 個正交向量 e_i(t) 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具，因為在這個局部參考系中，遠比使用歐幾里得那樣的整體坐標系更容易和自然地描述局部性質（如曲率、撓率）。

給定 Rⁿ 中一條 n 階正則 Cⁿ⁺¹-曲線 γ，曲線的 Frenet 標架是一組正交向量

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

稱為 Frenet 向量。它們是通過對 γ(t) 的各階導數使用格拉姆-施密特正交化算法得到的：

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{j}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)\|}}{\mbox{, }}{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(t)=\mathbf {\gamma } ^{(j)}(t)-\sum _{i=1}^{j-1}\langle \mathbf {\gamma } ^{(j)}(t),\mathbf {e} _{i}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{i}(t)}$

實值函數 χ_i(t) 稱為 廣義曲率，定義為

${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}}$

Frenet 標架和廣義曲率在重新參數化下是不變的，故它們是曲線的微分幾何性質。

特殊 Frenet 向量和廣義曲率

最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關更多信息。

切向量

如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 P 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 P 的切向量。

數學表述為，給定一條曲線 γ = γ(t)，對參數 t 的任何值： t = t₀， 向量：

${\displaystyle \gamma '(t_{0})={\frac {d}{d\,t}}\mathbf {\gamma } (t),{t=t_{0}}}$

是點 P = γ(t₀) 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。

切向量的長度：

${\displaystyle \|\mathbf {\gamma } '(t_{0})\|}$

是在時間 t₀ 的速率。

第一個 Frenet 向量 e₁(t) 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t)={\frac {\mathbf {\gamma } '(t)}{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}.}$

如果 t = s 是自然參數則切向量有單位長，從而公式化簡為：

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {\gamma } '(s).}$

單位切向量確定了曲線的定向，或隨著參數增長的前進方向。

法向量

法向量，有時也稱為曲率向量，表明曲線和一條直線的偏離程度。

法向量定義為

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)=\mathbf {\gamma } ''(t)-\langle \mathbf {\gamma } ''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t).}$

其正規形式單位法向量，是 Frenet 向量 e₂(t)，定義為

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(t)\|}}.}$

t 點的切向量和法向量張成 t 點的密切平面。

曲率

主條目：曲率

第一個廣義曲率 χ₁(t) 稱為曲率，度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為

${\displaystyle \kappa (t)=\chi _{1}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{1}'(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } ^{'}(t)\|}}}$

稱為 γ 在點 t 的曲率。

曲率的倒數

${\displaystyle {\frac {1}{\kappa (t)}}}$

稱為曲率半徑。

半徑為 r 的圓周有常曲率

${\displaystyle \kappa (t)={\frac {1}{r}}\,,}$

但一條直線的曲率是 0 。

次法向量

次法向量是第三個 Frenet 向量 e₃(t) ， 總是正交於 t 點的單位切向量和單位法向量。其定義為

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)\|}}\quad {\overline {\mathbf {e} _{3}}}(t)=\mathbf {\gamma } '''(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{1}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{1}(t)-\langle \mathbf {\gamma } '''(t),\mathbf {e} _{2}(t)\rangle \,\mathbf {e} _{2}(t)}$

在 3 維空間中等式簡化為

${\displaystyle \mathbf {e} _{3}(t)=\mathbf {e} _{2}(t)\times \mathbf {e} _{1}(t)\,.}$

撓率

主條目：曲線的撓率

第二廣義曲率 χ₂(t) 稱為撓率，度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度。或者說，如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內（任何 t 都在這一個平面內）。

${\displaystyle \tau (t)=\chi _{2}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{2}'(t),\mathbf {e} _{3}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}}$

稱為 γ 在點 t 的撓率。

曲線論主要定理

主條目：曲線基本定理

給定 n 個函數

${\displaystyle \chi _{i}\in C^{n-i}([a,b]){\mbox{, }}1\leq i\leq n}$

滿足

${\displaystyle \chi _{i}(t)>0{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}$

那麼存在惟一的（在差一個歐幾里得群作用的意義下） n 階正則 Cⁿ⁺¹-曲線 γ，具有如下性質

${\displaystyle \|\gamma '(t)\|=1{\mbox{ }}(t\in [a,b])}$

${\displaystyle \chi _{i}(t)={\frac {\langle \mathbf {e} _{i}'(t),\mathbf {e} _{i+1}(t)\rangle }{\|\mathbf {\gamma } '(t)\|}}\,,}$

這裡集合

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {e} _{n}(t)}$

是曲面的 Frenet 標架。

再附加起始 t₀ ∈ I，起始點 p₀ ∈ Rⁿ 以及一個初始正交標架 {e₁, ..., e_n-1} 滿足

${\displaystyle \mathbf {\gamma } (t_{0})=\mathbf {p} _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}(t_{0})=\mathbf {e} _{i}{\mbox{, }}1\leq i\leq n-1}$

那麼我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。

Frenet-Serret 公式

主條目：Frenet-Serret 公式

Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函數 χ_i 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。

2-維

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)\\-\kappa (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\end{bmatrix}}}$

3-維

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\mathbf {e} _{2}'(t)\\\mathbf {e} _{3}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa (t)&0\\-\kappa (t)&0&\tau (t)\\0&-\tau (t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\mathbf {e} _{2}(t)\\\mathbf {e} _{3}(t)\\\end{bmatrix}}}$

n 維一般公式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(t)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(t)&&0\\-\chi _{1}(t)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(t)\\0&&-\chi _{n-1}(t)&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(t)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(t)\\\end{bmatrix}}}$

參考文獻

• Erwin Kreyszig, Differential Geometry, Dover Publications, New York, 1991, ISBN 9780484667218. Chapter II is is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.
• 陳維桓，微分幾何，北京大學出版社，北京，2006年，ISBN 7-301-10709.

另見

• 曲線論題列表（英語：List of curves topics）
• 曲線的仿射幾何
• 弧
• 切線、切點、次切距
• 密切圓
• 包絡線、轉跡線
• 四頂點定理
• 測地線
• 等周問題
• 環繞數