朗德g因子

在物理學和化學中，朗德${\displaystyle g}$因子是阿爾弗雷德·朗德試圖解釋反常塞曼效應時，於1921年提出的一個無量綱物理量^[1][2][3][4]，反映了塞曼效應中磁矩與角動量之間的聯繫。其定義後來被推廣到其它領域，在粒子物理學中常常被簡稱為${\displaystyle g}$因子。

塞曼效應

塞曼效應中的朗德${\displaystyle g}$因子由下式給出^[5]

${\displaystyle g_{J}=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}$

式中${\displaystyle L,S,J}$分別是原子能態（光譜支項）的角量子數、自旋量子數和內量子數。

導引

朗德假定^[6]，當兩個角動量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$與${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$耦合時，它們的相互作用能由下式給出：

${\displaystyle E_{\text{interaction}}=\Gamma (\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ),\quad \Gamma \,{\text{ constant}}}$

令

${\displaystyle \mathbf {J} \hbar =\mathbf {L} \hbar +\mathbf {S} \hbar }$

為耦合後的總角動量，則可以證明^[6]，在上述形式的相互作用能下，${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$與${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$將繞向量${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$進動。

在外加磁場的作用下，帶電粒子的角動量會繞外加磁場的方向進動。在這種情況下，是${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$進行進動。朗德採用了一種簡化處理的方法，即認為外磁場中的原子的能量僅僅與向量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$與${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$的長時間平均值有關，而後者恰好就是它們在${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$方向上的投影，即^[6]

${\displaystyle (\mathbf {L} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}},\quad (\mathbf {S} )_{\text{av}}={\frac {\mathbf {J} (\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}}$

隨後，朗德進一步假定，角動量${\displaystyle \mathbf {L} \hbar }$貢獻的磁能（英語：magnetic energy）由經典的公式給出，並假定${\displaystyle \mathbf {J} \hbar }$是量子化的，其沿着磁場方向的分量由磁量子數${\displaystyle M}$確定，即

${\displaystyle E_{{\text{magnetic}},L}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} =\left({\frac {e}{2m}}(\mathbf {L} )_{\text{av}}\hbar \right)\cdot \mathbf {B} =(\mathbf {L} )_{\text{av}}\cdot \mathbf {B} \mu _{B}={\frac {M(\mathbf {L} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}\mu _{B}B}$

式中${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$是磁矩，而${\displaystyle \mu _{B}}$為波耳磁子。類似地，朗德寫出了角動量${\displaystyle \mathbf {S} \hbar }$帶來的能量貢獻，但他發現為了與實驗結果相一致，需要加上額外的因子2。當時朗德並不清楚為什麼^[6]，現在我們知道這就是電子的自旋${\displaystyle g}$因子。即：

${\displaystyle E_{{\text{magnetic}},S}={\frac {M(\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} )}{J^{2}}}2\mu _{B}B}$

將上面結果加起來，朗德得到下列的表達式，並引入符號${\displaystyle g}$^[6]，這就是朗德${\displaystyle g}$因子的最早來源：

${\displaystyle E_{\text{magnetic}}={\frac {M[(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} ]}{J^{2}}}\mu _{B}B=gM\mu _{B}B}$

利用關係式${\displaystyle \mathbf {L} }$+${\displaystyle 2\mathbf {S} }$=${\displaystyle \mathbf {J} }$+${\displaystyle \mathbf {S} }$，朗德得到：

${\displaystyle g={\frac {(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )\cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {\mathbf {S} \cdot \mathbf {J} }{J^{2}}}=1+{\frac {J^{2}-L^{2}+S^{2}}{2J^{2}}}}$

但是，朗德發現，為了與實驗結果相符，這一表達式需要修改為下式，當時朗德並不清楚原因^[6]。現在來看，只要將上面的角動量矢量都作為算符來處理，然後將對應的角動量平方算符用其本徵值取代，得出這個結果是很自然的。

${\displaystyle g=1+{\frac {J(J+1)-L(L+1)+S(S+1)}{2J(J+1)}}}$

推廣

從上面的導引可見，定義朗德${\displaystyle g}$因子的式子是

${\displaystyle E_{\text{magnetic}}=gM\mu _{B}B}$

上式可以等價地表述為^{[註 1]}：

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{J}=g{\frac {e}{2m}}\mathbf {J} }$

很自然的推廣是將兩邊的${\displaystyle J}$同時換成${\displaystyle L,S}$等，並對不同的粒子將${\displaystyle m}$換成對應粒子的質量。這就是現在廣泛使用的朗德${\displaystyle g}$因子。

粒子物理學

粒子物理學中的${\displaystyle g}$因子是自旋${\displaystyle g}$因子，根據自旋角動量和自旋磁矩按照上面的形式定義。

電子

上面的導引已經給出了電子自旋${\displaystyle g}$因子的定義。在實際使用中，它的符號有兩種取法，用不同的符號表記：

${\displaystyle g_{\rm {e}}\approx -2.002319,g_{S}=|g_{\rm {e}}|=-g_{\rm {e}}}$

歷史沿革

歷史上，它的理論值有過變動：

• 在非相對論量子力學理論下考慮自旋-軌道作用時，等效地說，${\displaystyle g_{s}}$為1。
  • 若再額外考慮狹義相對論時間展長效應下的湯瑪斯進動修正（1927年），${\displaystyle g_{s}}$變為2，方合乎當代實驗觀測值。
• 在相對論量子力學，也就是指保羅·狄拉克所提出的理論（1928年），${\displaystyle g_{s}}$恰恰為2；並不如前者採外加修正的方法，是具有一致性的理論可導出的自然結果。
• 在量子電動力學（QED）中，因為電子與真空能量的電磁漲落交互作用，可表為單環費曼圖，提出QED的朱利安·施溫格等人（1947年）所得的${\displaystyle g_{s}}$理論值為${\displaystyle \left(2+{\frac {\alpha }{2\pi }}+O(\alpha ^{2})\right)\approx 2.002\ 319\ 304\ 402}$^[7]；α目前被視為是自然常數之一，其值約為${\displaystyle {\frac {1}{137.035\ 999\ 11(46)}}}$。

威利斯·蘭姆等人實驗觀測到的蘭姆位移效應，所得${\displaystyle g_{s}}$觀測值為${\displaystyle 2.002\ 319\ 304\ 376\ 8(86)}$，與理論相符精準度達小數點下第9位，展現出量子電動力學等現代物理理論所能達到的驚人精準預測程度。

其它粒子

一些粒子的朗德${\displaystyle g}$因子列表如下：

NIST 提供的朗德${\displaystyle g}$因子的值^[8]

粒子	朗德${\displaystyle g}$因子	Δg
電子	-2.002 319 304 361 53	0.000 000 000 000 53
中子	-3.826 085 45	0.000 000 90
質子	5.585 694 713	0.000 000 046
μ子	-2.002 331 8418	0.000 000 0013