對於開放量子系統,不僅要關注系統本身(
),還應考慮所處環境(
)對系統的影響。從而整體希爾伯特空間
應為系統
與環境
希爾伯特空間的張量積,即:
。因此總系統的哈密頓量可寫為:
其中
,
和
分別表示系統、環境以及系統與環境相互作用的哈密頓量。
是單位矩陣。
設初始時刻整體系統(量子系統與環境)的密度算符為
。這裡
表示量子系統的初態,
為環境的密度矩陣,假設其不隨時間變化。此時總系統的動力學演化仍是幺正的,於是在相互作用表象下,劉維爾方程可寫為(以下
均取1):
其積分形式為:
將積分形式帶入原式中:
將上式兩邊同時對環境部分自由度求偏跡,假設量子系統與環境的耦合較弱,便可採用玻恩近似:
,可得:
根據量子系統與環境的耦合較弱的假設,可以認為:
,帶入上式得到:
為進一步簡化上述方程,採用馬爾可夫近似(英語:Markov approximation),即
時刻系統狀態僅與當前時刻有關,從而可將被積函數
替換為
,同時將
變換為
,並把積分上限拓展到無窮(當環境的弛豫時間尺度遠大於所研究的時間範圍尺度時,上述操作是合理的),最終得到玻恩-馬爾科夫主方程:
在薛定諤表象下,系統與環境相互作用哈密頓量可寫為:
其中
表示系統算符,
表示環境算符,定義系統的躍遷算符:
這裡
是系統的本徵能量。於是在相互作用表象下,系統與環境相互作用的哈密頓量可寫為:
將其帶入玻恩-馬爾科夫主方程中,忽略掉快速震盪項,並定義
:
基於玻恩近似,假設環境處於穩態,則
,那麼
,這表明
不依賴於時間。
最後得到相互作用表象下的林德布拉德方程:
其中
可表示為:
、
、
分別為: