柯尼希-費舍爾展開

柯尼希-費舍爾展開(Cornish-Fisher expansion)是一種漸近展開式，用於逼近一個概率分布的分位數 ^[1]。這個展開成立時，它可以比中心極限定理提供更精確的分位數逼近。

每一個Cornish-Fisher展開的成立與否，依賴於其相應的Edgeworth展開的正確性。Cornish-Fisher展開是其對應的Edgeworth展開的逆^[2]。

這個展開以E. A. Cornish和著名統計學家R. A. 費舍爾命名，他們於1937年發明該方法^[3][4]。

表達式和係數的計算方法

最簡單的定義Cornish-Fisher展開表達式的方式是待定係數法^[2]。假設我們有來自某分布 ${\displaystyle {\cal {F}}}$ 的獨立同分布隨機變量 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ，現在要估計總體的某個泛函 ${\displaystyle \theta =\theta ({\cal {F}})}$ ，假設 ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ 是基於樣本的一個估計，並且對該估計，成立以下的 ${\displaystyle K}$ 階Edgeworth展開

${\displaystyle \mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )\leq x)=\Phi (x)+\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot \Gamma _{k}(x)\right\}\cdot \varphi (x)+O(n^{-(K+1)/2})}$

其中 ${\displaystyle \Phi (\cdot )}$ 和 ${\displaystyle \varphi (\cdot )}$ 分別是標準正態分布的CDF和PDF， ${\displaystyle \Gamma _{k}(\cdot )}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的多項式，餘項表示的是一致誤差界，即它是精確分布和逼近分布的 ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$ 距離。

那麼對任何給定的 ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ，樞軸變量 ${\displaystyle n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )}$ 的下 ${\displaystyle \alpha }$ 分位數 ${\displaystyle \theta _{\alpha }}$ 可以由下列Cornish-Fisher展開逼近：

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{\alpha }:=z_{\alpha }-\left\{\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(z_{\alpha })\right\}\cdot \varphi (z_{\alpha })}$

其中 ${\displaystyle z_{\alpha }}$ 是標準正態分布的下 ${\displaystyle \alpha }$ 分位數，係數 ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{k}(y)}$ 從以下的式子以待定係數法逐個解出

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y))=\Phi (y)+O(n^{-1})\\\mathbb {P} (n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)-n^{-1}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{2}(y))=\Phi (y)+O(n^{-3/2})\\\cdots &\cdots \\\mathbb {P} {\Bigg (}n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )&\leq y-\sum _{k=1}^{K}n^{-k/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{k}(y){\Bigg )}=\Phi (y)+O(n^{-(K+1)/2})\end{aligned}}}$

例如，解第一個方程時，將 ${\displaystyle x=y-n^{-1/2}\cdot {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)}$ 代回到Edgeworth展開里， ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}_{1}(y)}$ 的解是（唯一的）能消去 ${\displaystyle n^{-1/2}}$ 階項的表達式。

性質

一般來說，Cornish-Fisher展開與它所來自的Edgeworth展開擁有相同的逼近階數和一致誤差項，除非該Edgeworth展開帶有跳躍點^[2]。