樣本變異數

樣本方差是依據所給樣本對隨機變量的方差做出的一個估計。

定義

設 ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$ 是隨機變量 ${\displaystyle X}$ 的 ${\displaystyle n}$ 個樣本，則樣本方差定義為：

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

其中 ${\displaystyle {\bar {X}}}$ 為樣本均值。

根據該定義，可以得出：

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n-1}}(\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-n{\bar {X}}^{2}).}$

無偏性

若隨機變量 ${\displaystyle X}$ 的期望為 ${\displaystyle \mu }$、方差為 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$，則樣本方差的期望滿足：

${\displaystyle \operatorname {E} (s^{2})={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}^{2})-n\operatorname {E} ({\bar {X}}^{2}){\big ]}={\frac {1}{n-1}}{\big [}\sum _{i=1}^{n}(\sigma ^{2}+\mu ^{2})-n({\frac {\sigma ^{2}}{n}}+\mu ^{2}){\big ]}=\sigma ^{2}}$

即樣本方差是總體方差的無偏估計。

樣本方差的定義中，分母的值為${\displaystyle n-1}$而非${\displaystyle n}$，一個重要原因即是這樣定義的樣本方差是總體方差的無偏估計。這被稱為貝塞爾修正。

樣本方差的分布

樣本方差作為隨機變量的（可測）函數，其本身也是一個隨機變量。在某些特殊情況下樣本方差的分布是已知的。例如，若${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$是獨立同分布的正態隨機變量，均值和方差為${\displaystyle \mu }$和${\displaystyle \sigma ^{2}}$，則${\displaystyle (n-1)s^{2}/\sigma ^{2}}$服從自由度為${\displaystyle n-1}$的卡方分布。