根軸(英語:radical axis)是由兩個圓唯一確定的,與兩圓連心線垂直的直線,其定義為關於兩圓的圓冪相等的點的軌跡。 此條目需要補充更多來源。 (2023年1月22日) 性質 幾何形狀及其位置的確定 令向量 x → {\displaystyle {\vec {x}}} 、 m → 1 {\displaystyle {\vec {m}}_{1}} 、 m → 2 {\displaystyle {\vec {m}}_{2}} 分別為根軸上的點 P {\displaystyle P} 、兩圓圓心 M 1 {\displaystyle M_{1}} 、 M 2 {\displaystyle M_{2}} 的位置。則根軸的「曲線」方程為: ( x → − m → 1 ) 2 − r 1 2 = ( x → − m → 2 ) 2 − r 2 2 , {\displaystyle ({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})^{2}-r_{1}^{2}=({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})^{2}-r_{2}^{2},} 即 2 x → ⋅ ( m → 2 − m → 1 ) + m → 1 2 − m → 2 2 + r 2 2 − r 1 2 = 0. {\displaystyle 2{\vec {x}}\cdot ({\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1})+{\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}=0.} d 1 , d 2 {\displaystyle d_{1},d_{2}} 的定義和計算 從右等式可知根軸是一條垂直於連心線的直線。因 m → 1 2 − m → 2 2 + r 2 2 − r 1 2 {\displaystyle {\vec {m}}_{1}^{2}-{\vec {m}}_{2}^{2}+r_{2}^{2}-r_{1}^{2}} 內積大小僅由 x {\displaystyle x} 在 m → 2 − m → 1 {\displaystyle {\vec {m}}_{2}-{\vec {m}}_{1}} 方向的分量決定,所以根軸是一條垂直於連心線的直線。 根軸在連心線上的垂足 L {\displaystyle L} 與圓心 M 1 {\displaystyle M_{1}} 、 M 2 {\displaystyle M_{2}} 的距離 d 1 {\displaystyle d_{1}} 、 d 2 {\displaystyle d_{2}} 分別滿足 d 1 = d 2 + r 1 2 − r 2 2 2 d , d 2 = d 2 + r 2 2 − r 1 2 2 d {\displaystyle d_{1}={\frac {d^{2}+{r_{1}}^{2}-{r_{2}}^{2}}{2d}}\ ,\qquad d_{2}={\frac {d^{2}+{r_{2}}^{2}-{r_{1}}^{2}}{2d}}} , 其中 d = | M 1 M 2 | {\displaystyle d=|M_{1}M_{2}|} . 如果兩圓相交,則根軸為它們交點的連線;如果兩圓相切,則根軸為它們的公切線[1]:27。 Remove ads根心 定義 三個圓能畫出三條根軸,這三條根軸交於一點,稱為三個圓的根心,若三個圓的圓心共線,則其根心為垂直於連心線方向上的無窮遠點[1]:27。 存在性的證明 考慮三圓 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 、 Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 、 Q 3 {\displaystyle Q_{3}} 兩兩構成的三條根軸。令 P {\displaystyle P} 為 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 、 Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 根軸以及 Q 1 {\displaystyle Q_{1}} 、 Q 3 {\displaystyle Q_{3}} 根軸的交點。有 Pow Q 1 ( P ) = Pow Q 2 ( P ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{2}}(P)} , Pow Q 1 ( P ) = Pow Q 3 ( P ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{1}}(P)=\operatorname {Pow} _{Q_{3}}(P)} , 其中 Pow Q i ( P ) {\displaystyle \operatorname {Pow} _{Q_{i}}(P)} 表示點 P {\displaystyle P} 關於圓 Q i {\displaystyle Q_{i}} 的冪。 則知點 P {\displaystyle P} 關於 Q 2 {\displaystyle Q_{2}} 和 Q 3 {\displaystyle Q_{3}} 的圓冪都相等,因此它在第三條根軸上,換言之,三條根軸共點,存在根心。 Remove ads參考資料Loading content...外部鏈結Loading content...Loading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads