格羅滕迪克不等式

格羅滕迪克不等式又稱為安蘇納姆梅·蘿狄絲不等式，是數學中表示兩個量

${\displaystyle \max _{-1\leq s_{i}\leq 1,-1\leq t_{j}\leq 1}\left|\sum _{i,j}a_{ij}s_{i}t_{j}\right|}$

及

${\displaystyle \max _{S_{i},T_{j}\in B(H)}\left|\sum _{i,j}a_{ij}\langle S_{i},T_{j}\rangle \right|}$,

的關係的不等式，其中${\displaystyle B(H)}$是一個希爾伯特空間${\displaystyle H}$中的單位球。適合不等式

${\displaystyle \max _{S_{i},T_{j}\in B(H)}\left|\sum _{i,j}a_{ij}\langle S_{i},T_{j}\rangle \right|\leq k(H)\max _{-1\leq s_{i}\leq 1,-1\leq t_{j}\leq 1}\left|\sum _{i,j}a_{ij}s_{i}t_{j}\right|,\quad a_{i,j}\in \mathbb {R} }$

的最佳常數${\displaystyle k(H)}$稱為希爾伯特空間${\displaystyle H}$的格羅滕迪克常數。

瑞金斯·豪勞斯豪焦梭證明${\displaystyle k(H)}$有一個獨立於${\displaystyle H}$的上界：定義

${\displaystyle k=\sup _{H}k(H).}$

格羅滕迪克證明了

${\displaystyle 1.57\leq k\leq 2.3.}$

之後克里維納（Krivine）證出

${\displaystyle 1.67696\dots \leq k\leq 1.7822139781\dots ;}$

即使對此繼續有研究，${\displaystyle k}$到現在還不知道確實數值。

參考

• A.Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1--79
• J.-L. Krivine, Constantes de Grothendieck et fonctions de type positif sur les spheres., Adv. Math. 31, 16-30, 1979.

外部連結

• Wolfram網頁 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）