梅森素數

梅森數是形如2ⁿ－1的數（n是正整數），記為${\textstyle M_{n}}$；如果梅森數是素數就稱梅森素數（英語：Mersenne prime）。

梅森預測表：n≤263

P : Mn是梅森素數 — : Mn是梅森合數 青色：顯示正確 粉紅色：顯示錯誤
n	2	3	5	7	11	13	17	19
Mn	P	P	P	P	—	P	P	P
n	23	29	31	37	41	43	47	53
Mn	—	—	P	—	—	—	—	—
n	59	61	67	71	73	79	83	89
Mn	—	P	—	—	—	—	—	P
n	97	101	103	107	109	113	127	131
Mn	—	—	—	P	—	—	P	—
n	137	139	149	151	157	163	167	173
Mn	—	—	—	—	—	—	—	—
n	179	181	191	193	197	199	211	223
Mn	—	—	—	—	—	—	—	—
n	227	229	233	239	241	251	257	263
Mn	—	—	—	—	—	—	—	—

梅森數是根據17世紀法國數學家馬蘭·梅森的名字命名，他列出了n≤257的梅森素數，不過他錯誤包括了不是梅森素數的M₆₇和M₂₅₇，而遺漏了M₆₁、M₈₉和M₁₀₇。

n為合數時，${\textstyle M_{n}}$一定為合數（當a整除b時，${\textstyle M_{a}}$一定整除${\textstyle M_{b}}$，反之亦然）。但n為素數時，${\textstyle M_{n}}$不一定皆為素數，如${\textstyle M_{2}=2^{2}-1=3}$和${\textstyle M_{3}=2^{3}-1=7}$是素數，但${\textstyle M_{11}=2^{11}-1=2047=23\times 89}$不是素數。

截至2024年10月已知52個梅森素數，最大的是2^136279841－1^[1]。從1997年至今，所有新的梅森素數都由互聯網梅森素數大搜索（GIMPS）分布式計算項目發現。

相關命題和定理

梅森數和梅森素數的性質

• ${\displaystyle M_{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}-1=\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}}$。

• 如果${\textstyle p\equiv 3{\pmod {4}}}$為素數。則${\displaystyle 2p+1}$是素數的充分必要條件是${\displaystyle 2p+1\mid M_{p}}$ ，因此對於這些素數${\displaystyle p}$（除了3），${\displaystyle M_{p}}$不可能會是質數，前幾個這樣的素數${\displaystyle p}$為11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、… （OEIS數列A002515）

• 拉馬努金-南哥爾方程（Ramanujan–Nagell Equation）：${\displaystyle M_{p}=6+x^{2}}$。當${\displaystyle p}$為3、5和7時，${\displaystyle M_{p}}$為梅森素數，方程有整數解；${\displaystyle p}$為合數4和15時，方程亦有整數解；${\displaystyle p}$為其它自然數時，方程沒有整數解。

• 如果${\displaystyle p}$是奇素數，任何能整除${\displaystyle 2^{p}-1}$的素數${\displaystyle q}$都一定是${\displaystyle 2p}$的倍數加${\displaystyle 1}$，如2¹¹ − 1 = 23 × 89, 其中23 = 1 + (2 × 11) 且 89 = 1 + 4 × (2 × 11)。

• 如果${\displaystyle p}$是奇素數，任何能整除${\displaystyle 2^{p}-1}$的素數${\displaystyle q}$都一定與${\textstyle \pm 1{\pmod {8}}}$同餘。

梅森數和梅森素數的關係

下面的命題關注什麼梅森數是梅森素數。

• 由${\displaystyle 2^{ab}-1=(2^{a}-1)\times \sum _{i=0}^{b-1}2^{ia}}$知：「q是素數」是「M_q是素數」的必要條件，但不是充分條件。M₁₁＝2¹¹ − 1＝23×89是最小的反例。
• 對M_q（q是素數）有：
  • 若a是M_q的因數，則a有如下性質：
    • a ≡ 1 mod 2q
    • a ≡ ±1 mod 8
  • 形如6k＋1的數有歐拉理論表明：當且僅當有數對（x，y）使M_q＝（2x）²＋3（3y）²，M_q是素數，其中q≥5。
  • 最近，Bas jansen研究了等式M_q＝x²＋dy²（0≤d≤48），得出了d＝3時的新證明方法。
  • Reix發現q＞3時，M_q可寫成M_q＝（8x）²－（3qy）²＝（1＋Sq）²－（Dq）²；顯然，若有數對（x，y），M_q就是素數。

檢驗梅森素數

盧卡斯-萊默檢驗法是現在已知的檢測梅森數素數的最好的方法。

• 該方法由愛德華·盧卡斯於1878年發現，並由德里克·亨利·萊默於1930年代改進，因此得名。
• 該方法基於循環數列（英語：Derrick Henry Lehmer）的計算，其原理是：

M_n為素數當且僅當M_n整除S_n-2（S₀＝4，S_k＝S²_k−1 − 2，k＞0），此數列為4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…（OEIS數列A003010）

與完全數的關係

梅森素數與偶完全數有一一對應的關係，稱為歐幾里得-歐拉定理。

• 前4世紀，歐幾里得證明如果M是梅森素數，則${\textstyle {\frac {M(M+1)}{2}}}$是完全數。
• 18世紀，歐拉證明所有偶完全數都有這種形式。

相關問題和猜想

• 梅森素數是否有無限個
• 梅森素數如何分布

尋找梅森素數

• 頭四個梅森素數M₂、M₃、M₅、M₇在古代已知。
• 第五個梅森素數M₁₃在1461年之前發現；
• M₁₇和M₁₉兩數隨後在1588年由Cataldi發現。
• 17世紀法國數學家馬蘭·梅森列出了他認為的冪小於等於257的梅森素數，其中錯誤包括了不是素數的M₆₇和M₂₅₇，遺漏了M₆₁、M₈₉和M₁₀₇。這也是「梅森素數」一名的由來。
• 一個多世紀後的1750年，才由歐拉證實M₃₁是第8個梅森素數。
• 下個發現的梅森素數是由盧卡斯在1876年證明的M₁₂₇；
• 1883年，Pervushin證實M₆₁。
• M₈₉和M₁₀₇在20世紀早期由Powers分別在1911年和1914年發現。
• 發明電子計算機改革了梅森素數的尋找過程。第一項成功例子是證明M₅₂₁，它由萊默指導，用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授編寫的軟件，利用坐落在洛杉磯加利福尼亞大學的數據分析協會的，屬於美國國家標準局的西部自動計算機（SWAC）於1952年1月30日晚上10:00獲得，並且在隨後不到兩小時發現下個梅森素數M₆₀₇。在隨後的幾個月裡，使用同樣的程序發現了另外三個梅森素數M₁₂₇₉、M₂₂₀₃和M₂₂₈₁。
• 素數P值增大，搜尋梅森素數MP的過程都艱辛無比，但各國科學家及業餘研究者仍樂此不疲，激烈競爭；1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布找到第26個梅森素數M₂₃₂₀₉時才知諾爾在兩星期前已得到這結果。
• 為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月用CRAY－1型計算機找到新梅森素數M₄₄₄₉₇，這紀錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。

• 他之後乘勝前進，使用改進了的CRAY－XMP型計算機在1983年至1985年間找到3個梅森素數M₈₆₂₄₃、M₁₃₂₀₄₉和M₂₁₆₀₉₁，但未能確定M₈₆₂₄₃和M₂₁₆₀₉₁之間是否有異於M₁₃₂₀₄₉的梅森素數。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC－FX2型超高速並行計算機果然捉到「漏網之魚」M₁₁₀₅₀₃。

• 沉寂4年後，1992年3月25日，英國原子能技術權威機構哈威爾實驗室有研究小組宣布找到梅森素數M₇₅₆₈₃₉。

• 1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現「已知最大質數」的桂冠——M₈₅₉₄₃₃；而下個梅森素數M_1257787仍是他們的成果，用CRAY－794超級計算機在1996年找到。

• 史洛溫斯基發現7個梅森素數，獲美譽「素數大王」。
• 2010年7月11日GIMPS確認M_20,996,011是第40個梅森素數。^[2]
• 2011年12月1日GIMPS確認M_24,036,583是第41個梅森素數。^[2]
• 2012年12月20日GIMPS確認M_25,964,951是第42個梅森素數。^[2]
• 2013年1月25日GIMPS發現M_57,885,161^[2]
• 2014年2月23日GIMPS確認M_30,402,457是第43個梅森素數。^[2]
• 2014年11月8日GIMPS確認M_32,582,657是第44個梅森素數。^[2]
• 2016年1月7日GIMPS發現M_74,207,281^[2]
• 2018年1月3日GIMPS發現的M_77,232,917有23249425位數^[3]。
• 2018年12月7日GIMPS的M_82,589,933有24862048位數^[4]。
• 2024年10月21日GIMPS的M_136,279,841有41024320位數^[1]。