機率母函數

在概率論裡,一個離散隨機變量的概率母函數是指該隨機變量的概率質量函數的冪級數表達式。

定義

單變量情形

如果 ${\displaystyle X}$ 是在非負整數域${\displaystyle \{0,1,...\}}$上取值的離散隨機變量，那麼${\displaystyle X}$的概率母函數定義為 ^[1]

${\displaystyle G(z)=\operatorname {E} (z^{X})=\sum _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x},}$

其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$的概率質量函數。

多變量情形

如果 ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{d})}$ 是在d-非負整數格${\displaystyle \{0,1,\ldots \}^{d}}$上取值的離散隨機變量，那麼${\displaystyle X}$的概率母函數定義為

${\displaystyle G(z)=G(z_{1},\ldots ,z_{d})=\operatorname {E} {\bigl (}z_{1}^{X_{1}}\cdots z_{d}^{X_{d}}{\bigr )}=\sum _{x_{1},\ldots ,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},\ldots ,x_{d})z_{1}^{x_{1}}\cdots z_{d}^{x_{d}},}$

其中${\displaystyle p}$是${\displaystyle X}$的概率質量函數。