正則形式的博弈

在博弈論中，正則形式（Normal-form game）是描述博弈的一種方式。與延展形式不同，正則形式不用圖形來描述博弈，而是用矩陣來陳述博弈。與延展形式的表述方式相比，這種方式在識別出嚴格優勢策略和納什均衡上更有用，但會丟失某些信息。博弈的正則形式的表述方式包括如下部分：每個參與者所有顯然的和可能的策略，以及和與其相對應的收益。

在非完美信息的完全靜態博弈中，正則形式的表述方式詳細地說明了參與者策略空間和收益函數。策略空間是某個參與者的所有可能策略的集合。策略是參與者在博弈的每個階段——不管在博弈中這個階段實際上是否會出現——將要採取的行動的完整計劃。每個參與者的收益函數，是從參與者策略空間的向量積到該參與者收益集合（一般是實數集，數字表示基數效用或序數效用——在正則形式的表述方式中常常是基數效用）的映射。也就是說，參與者的收益函數把策略組合（所有參與者策略的清單）作為它的輸入量，然後輸出參與者的收益。

一個實例

一個正則形式的博弈

	乙選擇左	乙選擇右
甲選擇頂	4, 3	-1, -1
甲選擇底	0, 0	3, 4

有種博弈是參與者同時（或至少在做出行動前不觀察其他參與者的動作）做出行動，並按照上述已做出行動的組合獲得收益。右邊的矩陣是這種博弈得正則形式的表述方式。例如，如果甲做出行動「頂」，而乙做出行動「左」，則甲得到收收益4，乙得到收益3。在每個回合，第一個數字代表排參與者（此處為甲）的收益，第二個數字代表列參與者（此處為乙）的收益。

其他表述方式

對稱博弈（其收益不是依賴於參與者選擇的動作）常常被表述為只有一種收益，即豎排參與者的收益。例如，左右兩邊的收益矩陣表述的是同一個博弈。

兩個參與者都有的 雄鹿 野兔 雄鹿 3, 3 0, 2 野兔 2, 0 2, 2

只有豎排的 雄鹿 野兔 雄鹿 3 0 野兔 2 2

正則形式的使用

占優策略

囚徒困境

	合作	背叛
合作	2, 2	0, 3
背叛	3, 0	1, 1

收益矩陣有助於剔除劣勢策略，而且經常被用於說明這個概念。例如，在囚徒困境中（右圖），參與者會發現因為其他人的背叛，合作成了嚴格劣勢策略。參與者會比較每列的第一個數字，在這個例子中，3>2且1>0。這表明無論橫排參與者怎樣選擇，豎排參與者選擇背叛都比較好些。類似地，參與者會比較每列的第二個數字，同樣也是3>2且1>0。這說明無論豎排參與者怎麼做，橫排參與者選擇背叛都比較好些。這就證明了此博弈唯一的納什均衡是（背叛，背叛）。

正則形式的連續博弈

一個連續博弈

	左，左	左，右	右，左	右，右
頂	4, 3	4, 3	-1, -1	-1, -1
底	0, 0	3, 4	0, 0	3, 4

這些矩陣只表述同時（或者更一般地，信息是不完美的）做出行動的博弈。上述矩陣不能表述甲先做出行動，被乙觀察到，然後乙再做出行動的博弈。因為在這個例子中，無法確定乙每次的策略。為了表述這種連續博弈，我們要列出乙在博弈進行期間所有的行動——儘管根據實際情況，某種行動決不會出現。和前面一樣，在這個博弈中乙有兩種選擇，左和右。與前面不一樣的是，視甲的行動不同而定，乙有四種策略。這些策略是：

1. 如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇左
2. 如果甲選擇頂，選擇左；否則，選擇右
3. 如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇左
4. 如果甲選擇頂，選擇右；否則，選擇右

右圖是這個博弈的正則形式的表述方式。

一般形式

為了用把博弈表述成正則形式，需要提供下列數據：

• 表示參與者的有限集P，標記為{1,2,…,m}
• 每個參與者k在P里擁有有限個純策略

${\displaystyle S_{k}=\{1,2,\ldots ,n_{k}\}.}$

一個純策略組合是參與者策略的聯合，這是一個m元組

${\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{m})}$

則有

${\displaystyle \sigma _{1}\in S_{1},\sigma _{2}\in S_{2},\ldots ,\sigma _{m}\in S_{m}}$

我們用Σ來表示策略組合的集合

收益函數形如

${\displaystyle F:\Sigma \rightarrow \mathbb {R} .}$

其預期解釋是博弈結束時給予單個參與者的獎品。相應地，為了完整地說明一個博弈，收益函數必須在參與者集 P= {1, 2, ..., m}中對每個參與者詳細說明。

定義：一個正則形式的博弈的結構形如

${\displaystyle (P,\mathbf {S} ,\mathbf {F} )}$

這裡 P = {1,2, ...,m}是參與者集合，

${\displaystyle \mathbf {S} =(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{m})}$

是純策略集合的一個m元組，每個純策略對應於一個參與者，而

${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{1},F_{2},\ldots ,F_{m})}$

是收益函數的m元組。

沒有理由在前面的討論中，把參與者數量有限或每個參與者的策略有限的博弈排除在外。因為要用到泛函分析的技巧，關於有限博弈的研究非常艱深。

參考文獻

• D. Fudenberg and J. Tirole, Game Theory, MIT Press, 1991.
• R. D. Luce and H. Raiffa, Games and Decisions, Dover Publications, 1989.
• J. Weibull, Evolutionary Game Theory, MIT Press, 1996
• J. von Neumann and O. Morgenstern, Theory of games and Economic Behavior, John Wiley Science Editions, 1964. This book was initially published by Princeton University Press in 1944.

外部連結

• http://www.whalens.org/Sofia/choice/matrix.htm （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）