沃克斯曼-巴考爾界限

沃克斯曼-巴考爾界限（英語：Waxman-Bahcall bound）是指基於已觀測到的高能宇宙線計算出的高能中微子通量的上限。由於超高能宇宙線可產生高能中微子，因此前者的觀測速率可對後者的通量進行限定。該上限值的名字源於埃利·沃克斯曼和約翰·巴考爾^[1]。

提出背景

宇宙線通量與粒子能量的關係圖

沃克斯曼-巴考爾界限來源於對不同能量的宇宙線及其相應通量的分析。宇宙線是來自外太空的帶電高能亞原子粒子，以近乎光速射向地球^[1]。這些射線的來源十分豐富，如太陽、太陽系、銀河系，甚至宇宙中更遠的地方^[2][3]。

自這些宇宙線射入地球大氣後，宇宙線將與大氣中的原子相互作用，形成空氣簇射。這些簇射來自次級粒子的級聯反應，其中包括μ子和中微子^[2]。其中，在大氣中產生的中微子被稱為大氣中微子。通過觀測大氣中微子，可以得知其能量和通量分布。不過，需要注意的是，沃克斯曼-巴考爾界限不適用於大氣中微子，而只適用於來自銀河系外的超高能中微子^[2]。

根據埃利·沃克斯曼和約翰·巴考爾對中微子的研究，似乎存在一個非常高能的中微子空白區域。其雖然超出了大氣中微子的能量上限，但仍低於宇宙線的理論上限值（GZK極限）。這意味着，可能存在尚未被探測到的銀河系外高能中微子源^[1][3]。

大氣中微子

大氣中微子的形成過程示意圖

大氣中微子通常產生於大致距地表約15千米上空的地球大氣中。它們是由粒子（通常是質子或輕原子核）撞擊大氣中的其他粒子而產生的。這些中微子通常以如同瀑布的形式降落到地球表面^[2]。

1960年代，大氣中微子首次被成功探測到^[4]。由此，高能物理學家可以通過觀測確定中微子的能量及其相關的通量。目前，中微子可以通過許多不同的實驗進行探測，從而實現更高精度的能量和通量測量。

GZK極限

GZK極限是宇宙中可以在無相互作用影響下傳播的宇宙線的能量上限，其值約為5×10¹⁹ eV。如果銀河系外的宇宙射線的能量大於此極限，則理論上在地表無法觀測到。這一極限的存在是因為在比GZK極限還要高的能量之下，且如果傳播距離超過了超過50 Mpc，則宇宙線與CMB光子的相互作用會增加。由於這些相互作用的存在，新產生的宇宙線粒子的能量越來越低，最終導致能量超過10²⁰ eV的中微子無法抵達地球。需注意的是，這種相互作用還會產生被稱為宇宙起源中微子的中微子，其能量通常比宇宙線粒子的每個核子能量低一個數量級^[5]。

界限值

根據沃克斯曼和巴考爾於1999年的研究，沃克斯曼-巴考爾界限的值為

${\displaystyle I_{\text{max}}=1.5*10^{-8}*\xi _{z}{\text{ GeV}}{\text{ cm}}^{-2}{\text{ s}}^{-1}{\text{ sr}}^{-1}.}$

其中，${\displaystyle I_{\text{max}}}$代表高能中微子通量上限的2倍，${\displaystyle \xi _{z}}$為修正因子^[1]。

紅移損失

在上述推導的中微子強度中，${\displaystyle \xi _{z}}$為考慮了紅移效應後的修正因子。這是由於有些中微子雖然最初具有較高的能量，但由於紅移效應而以較低的能量被探測到^[1]。該修正因子的表達式為

${\displaystyle \xi _{z}={\frac {\int _{0}^{z_{\text{max}}}g(z)(1+z)^{-7/2}f(z)\mathrm {d} z}{\int _{0}^{\inf }g(z)(1+z)^{-5/2}\mathrm {d} z}}.}$

其中，${\displaystyle f(z)}$是一個與中微子產生率有關的函數，${\displaystyle g(z)}$是一個基於宇宙學的函數。

不過，根據對距地球較近星系和星系團的研究，紅移校正被發現對沃克斯曼-巴考爾界限沒有顯著影響。這意味着，只有來自某種其他外部來源的中微子才有可能取未考慮紅移損失情況下的值^[1]。

其他校正因素

如果在磁場的影響下質子被阻止傳播至源頭之外，只有中微子可以傳播到外界的話，地球上或許可以觀測到能量更高的中微子。因此，除紅移效應外，中微子產生之處的磁場起初也被認為是影響沃克斯曼-巴考爾界限值的因素之一。不過，根據沃克斯曼和巴考爾、菲利普·P·克倫貝格等人的研究，磁場被認為不會對沃克斯曼-巴考爾界限值產生影響^[1][6]。

界限值附近的中微子來源

雖然IceCube等中微子實驗設施已經觀測到了沃克斯曼-巴考爾界限值附近的高能中微子，但其來源一直未被探明^[7]。目前，與活動星系核、伽瑪射線暴相關的多種假說被提出^[8][9]。