沙滕範數

泛函分析中，沙滕範數（Schatten norm，或沙滕–馮·諾依曼範數，Schatten–von-Neumann norm）來自p-可積的推廣，與跡類範數、希爾伯特-施密特範數相似。

定義

令${\displaystyle H_{1},\ H_{2}}$是希爾伯特空間，${\displaystyle T:\ H_{1}\to H_{2}}$是（線性）有界算子。對${\displaystyle p\in [1,\infty )}$，定義T的沙滕p-範數為

${\displaystyle \|T\|_{p}=[\operatorname {Tr} (|T|^{p})]^{1/p},}$

其中${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$，平方根是算子平方根。

若T是緊的、${\displaystyle H_{1},\,H_{2}}$可分離，則

${\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}}$

T的奇異值（即厄米算子${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$的特徵值）滿足${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots \geq s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0}$。

性質

下面將p的範圍推廣到${\displaystyle [1,\infty ]}$，${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$表示算子範數。指標${\displaystyle p=\infty }$的對偶是${\displaystyle q=1}$。

• 沙滕範數是酉不變的：對酉算子U、V、${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$，

${\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.}$

• 它們滿足赫爾德不等式：${\displaystyle \forall p\in [1,\infty ],\ q}$使得${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$，以及定義在希爾伯特空間之間的算子${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$，

${\displaystyle \|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.}$

若${\displaystyle p,q,r\in [1,\infty ]}$滿足${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}={\tfrac {1}{r}}}$，則

${\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}}$.

赫爾德不等式的這後一個形式有更一般情形的證明（對非交換${\displaystyle L^{p}}$空間，而非沙滕-p類。^[1]對於矩陣，見^[2]）。

• 子乘性：${\displaystyle \forall p\in [1,\infty ]}$、定義在希爾伯特空間${\displaystyle H_{1},H_{2},H_{3}}$之間的算子${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$，

${\displaystyle \|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.}$

• 單調性：對於${\displaystyle 1\leq p\leq p'\leq \infty }$，

${\displaystyle \|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.}$

• 對偶性：令${\displaystyle H_{1},H_{2}}$為有限維希爾伯特空間，${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$，q滿足${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$，則

${\displaystyle \|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,}$

其中${\displaystyle \langle S,T\rangle =\operatorname {tr} (S^{*}T)}$表示希爾伯特-施密特算子。

• 令${\displaystyle (e_{k})_{k},(f_{k'})_{k'}}$為希爾伯特空間${\displaystyle H_{1},H_{2}}$的兩個正交基，則對${\displaystyle p=1}$

${\displaystyle \|T\|_{1}\leq \sum _{k,k'}\left|T_{k,k'}\right|.}$

備註

注意${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$是希爾伯特-施密特範數（見希爾伯特-施密特算子），${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$是跡類範數（見跡類算子），${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$是算子範數（見算子範數）。 對${\displaystyle p\in (0,1)}$，函數${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$是擬賦范空間的例子。

具有有限沙滕範數的算子稱作沙滕類算子，其空間記作${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$。此範數下${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$是巴拿赫空間，對${\displaystyle p=2}$是希爾伯特空間。

注意${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})}$，後者即緊算子代數。這是因為，若和有限，則譜也有限或至多是可數無窮多，且以原點為極限點，因此是緊算子。

${\displaystyle p=1}$情形常稱作核範數（或跡範數、樊𰋀n-範數^[3]）。

另見

矩陣範數#Schatten 範數