海森堡模型

海森堡模型（Heisenberg model）是一個自旋系統的統計力學模型，常被用來研究磁性系統和強關聯電子系統中的相變與臨界點的現象（臨界現象）。在量子力學發展初期，海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用，其數學形式是兩個自旋角動量的內積 ${\displaystyle {\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$^[1]。這一個「電子自旋之間的交換作用是鐵磁性起源」的物理圖像，被視為量子磁學的開山之作，而海森堡模型的哈密頓算符正是這些內積的總和。

${\displaystyle H=\sum _{ij}J_{ij}{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}}$

其中自旋角動量的${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$三個分量之間的互易關係為 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\hbar \delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$，${\displaystyle \hbar }$為普朗克常數除以 ${\displaystyle 2\pi }$，為了方便以下討論假設 ${\displaystyle \hbar =1}$。如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用，且交互作用的強度${\displaystyle J_{ij}}$都均等，則哈密頓算符簡化為

${\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }{\vec {S}}_{i}\cdot {\vec {S}}_{j}=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right)}$

可定義上昇算符 ${\displaystyle S^{+}}$和下降算符 ${\displaystyle S^{-}}$，

${\displaystyle S^{\pm }=S^{x}\pm iS^{y}}$

則哈密頓算符可寫成

${\displaystyle H=J\sum _{\langle i,j\rangle }\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+}\right)+S_{i}^{z}S_{j}^{z}\right]}$

相較於易辛模型，海森堡模型除了考慮自旋 ${\displaystyle z}$軸方向上的耦合以外，還考慮了 ${\displaystyle x}$和 ${\displaystyle y}$軸方向上的耦合，由於 ${\displaystyle [S_{i}^{\alpha },S_{j}^{\beta }]=i\delta _{ij}\epsilon _{\alpha \beta \gamma }S_{j}^{\gamma }}$，這使研究海森堡模型必須考慮量子力學。

一維海森堡模型

考慮 ${\displaystyle N}$個自旋排成一列，耦合強度 ${\displaystyle J\equiv 1}$，一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成

${\displaystyle H=\sum _{j=1}^{N}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}=\sum _{j=1}^{N}\left[{\frac {1}{2}}\left(S_{j}^{+}S_{j+1}^{-}+S_{j+1}^{+}S_{j}^{-}\right)+S_{j}^{z}S_{j+1}^{z}\right]}$

如果是自旋-1/2的一維海森堡模型，在熱力學極限下(${\displaystyle N\rightarrow \infty }$)，基態能量可利用貝特猜想解（英語：Bethe ansatz）方法求得 ${\displaystyle e_{0}=-\ln 2+1/4}$。^[2]這個方法是開創了量子可積系統（Quantum Integrable Systems）領域的鼻祖。貝特（Bethe）在這裡發展的數學技巧後來被廣泛應用於解決許多其他的低維量子多體模型。對於凝態物理研究者而言，這篇論文是從「近似理論」（例如：平均場論）跨越到「精確解」的分水嶺。導致諾貝爾物理獎得主楊振寧和他的弟弟楊振平對一維海森堡模型及其推廣（XXZ 模型）有重要的嚴格解工作，發表在美國物理學會的期刊《物理評論》上。這是一系列非常著名的論文，發表於 1966 年，共有三篇，統稱為楊氏兄弟在量子自旋鏈上的經典工作。第一篇：證明貝特假說的有效性^[3]。這篇論文嚴格證明了對於有限長度的各向異性海森堡鏈（XXZ 模型），貝特猜想解（英語：Bethe ansatz）所給出的波函數確實是哈密頓量的本徵態。這是對貝特原始工作的重要數學補完與嚴格化。第二篇：基態能量性質^[4]。在無限長鏈的熱力學極限下，計算了基態能量，並分析了其解析性質。第三篇：應用與激發態^[5]。探討了模型的物理應用，包括磁化強度曲線與磁化率等性質。

利布-舒爾茨-馬蒂斯定理

利布-舒爾茨-馬蒂斯（Lieb-Schultz-Mattis）定理，簡稱：LSM 定理^[6]，這個定理證明了自旋半奇整數的一維反鐵磁海森堡模型在具有平移對稱性和自旋的旋轉對稱性下，必定存在一個激發態，此激發態與基態同一個磁化強度但晶格動量相差 ${\displaystyle \pi }$，在力學極限下和基態能量簡併。也就是說，自旋半奇整數的一維海森堡模型能量譜是無能隙的。

LSM 定理由日本學者押川正毅推廣，從最初僅適用於一維半整數自旋鏈，擴展到任意維度與任意守恆粒子數的系統^[7]。

霍爾丹的猜想

根據 LSM 定理，自旋半奇整數（${\displaystyle S=1/2,3/2,5/2,}$...）的反鐵磁一維海森堡模型的基態沒有自旋能隙。然而，自旋整數（${\displaystyle S=1,2,3,}$...）的反鐵磁一維海森堡模型並不在 LSM 定理的框架內，因此可能具有截然不同的性質。諾貝爾物理獎得主鄧肯·霍爾丹提出自旋整數的反鐵磁一維海森堡模型的基態都存在自旋能隙，後來被稱為「霍爾丹的猜想」，而此能隙被稱為「霍爾丹能隙」。「霍爾丹的猜想」已經經過無數驗證，包跨數值計算和實驗上在整數自旋鍊的材料中測量到「霍爾丹能隙」。進一步引發物理學家研究這個能隙的來源與拓樸性質有關，是理解目前物質的拓樸相與拓樸相變關鍵的里程碑。鄧肯·霍爾丹因「在物質的拓樸相與拓樸相變領域的理論性發現」而與戴維·索利斯以及約翰·科斯特利茨共同獲得了2016年度諾貝爾物理學獎。

奇數（symmetry protected topological）和偶數（trivial）。

二維海森堡模型

Kagome晶格中的自旋液體。

各向異性

在磁性材料中，磁矩（或自旋）之間的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，還可能出現一些各向異性（anisotropy）。當材料中有較強的自旋-軌道耦合時，常造成自旋 ${\displaystyle x}$、${\displaystyle y}$、${\displaystyle z}$軸上的耦合強度不同，此時哈密頓算符改寫為

${\displaystyle H=J_{x}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{x}S_{j}^{x}+J_{y}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{y}S_{j}^{y}+J_{z}\sum _{\langle i,j\rangle }S_{i}^{z}S_{j}^{z}}$

被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是XXZ模型，也就是 ${\displaystyle J_{x}=J_{y}\neq J_{z}}$ 的情形，一維自旋-1/2的XXZ模型可利用貝特擬設（英語：Bethe ansatz）嚴格求解。

當磁矩（或自旋）大於1/2，真實材料中通常還可能出現另一種形式的各向異性，由晶格場造成的單離子各向異性，其數學形式為 ${\displaystyle D(S^{z})^{2}+E[(S^{x})^{2}-(S^{y})^{2}]}$，其中${\displaystyle D}$項和${\displaystyle E}$項分別稱為單軸的和菱形的單離子各向異性。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成XXZ模型加上單離子各向異性，

${\displaystyle H=\sum _{\langle i,j\rangle }(S_{i}^{x}S_{j}^{x}+S_{i}^{y}S_{j}^{y}+\Delta S_{i}^{z}S_{j}^{z})+D\sum _{j}(S_{j}^{z})^{2}+E\sum _{j}[(S_{j}^{x})^{2}-(S_{j}^{y})^{2}]}$

當 ${\displaystyle \Delta =1}$ 且 ${\displaystyle D=E=0}$，模型回歸到各向同性的海森堡模型。

相關條目

• 易辛模型
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