愛因斯坦關係

在分子運動論中，愛因斯坦關係（英語：Einstein relation）是一個以前沒有想到的關係，由阿爾伯特·愛因斯坦在1905年和馬利安·斯莫魯霍夫斯基（英語：Marian Smoluchowski）在1906年獨立發現：

${\displaystyle D={\mu _{p}\,k_{B}T}}$

把D——擴散常數，和μ_p——粒子的遷移率聯繫起來；其中${\displaystyle k_{B}}$是玻爾茲曼常數，T是絕對溫度。

遷移率μ_p是粒子的終極速度與作用力之比：μ_p = v_d / F。

這個方程是漲落耗散定理（英語：Fluctuation-dissipation_theorem）的一個早期的例子。它在電子擴散的現象中經常使用。

粒子的擴散

在低雷諾數的極限下，遷移率${\displaystyle \mu }$是阻力係數${\displaystyle \gamma }$的倒數。對於半徑為${\displaystyle r}$的球形粒子，斯托克斯定律給出：

${\displaystyle \gamma =6\pi \,\eta \,r,}$

其中${\displaystyle \eta }$是介質的黏度。因此愛因斯坦關係變為：

${\displaystyle D={\frac {k_{B}T}{6\pi \,\eta \,r}}}$

這個方程也稱為斯托克斯-愛因斯坦關係或斯托克斯-愛因斯坦-薩瑟蘭方程^[1]。它可以用於估計球狀蛋白在水溶液中的擴散係數：對於100kDalton的蛋白質，我們得到${\displaystyle D}$ ~10^-10 m² s^-1，假設蛋白質的密度是「標準」的~1.2 10³ kg m^-3。

電傳導

當應用於電傳導的時候，通常把電遷移率定義為機械導納${\displaystyle \mu _{p}}$與載流子的電荷q的乘積：

${\displaystyle \mu _{q}=q*{\mu _{p}}}$

也可以表述為：

${\displaystyle \mu _{q}={{v_{d}} \over {E}}}$

其中E是施加的電場；因此愛因斯坦關係變為：

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,k_{B}T} \over {q}}}$

在任意態密度的半導體中，愛因斯坦關係為：

${\displaystyle D={{\mu _{q}\,p} \over {q{{d\,p} \over {d\eta }}}}}$

其中${\displaystyle \eta }$是化學勢，p是粒子數。