狄利克雷原理

此條目的主題是變分法中的結論。關於組合數學中的原理，請見「抽屜原理」。

在數學中的位勢論里，狄利克雷原理是關於在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的某個區域 ${\displaystyle \Omega }$ 上的泊松方程

${\displaystyle \Delta u+f=0\,}$

滿足邊界條件

在 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上 ${\displaystyle u=g\,}$

的解 u(x) 的刻畫。原理說明，u(x) 是使得狄利克雷勢能

${\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

最小的幾乎處處二次可導，並且在邊界 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上滿足 ${\displaystyle v=g}$ 的函數 ${\displaystyle v}$（如果至少存在一個函數使得以上的積分成立的話）。這個原理得名於德國數學家勒熱納·狄利克雷。

由於以上的狄利克雷積分是下有界的，因此必然存在一個下確界。黎曼和其他的數學家都認為下確界一定能夠達到，直到魏爾斯特拉斯舉出了一個無法達到下確界的泛函的例子。後來希爾伯特嚴格證明了黎曼對狄利克雷原理的使用之正當性。

證明

以下給出 ${\displaystyle g=0}$ 時的證明^[1]。假設 u 是使得

${\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

最小的並且幾乎處處二次可導，並且在邊界${\displaystyle \partial \Omega }$上滿足${\displaystyle v=0}$的函數${\displaystyle v}$，那麼對於任意一個滿足邊界條件的函數 ${\displaystyle w}$，任意正實數${\displaystyle \varepsilon }$都有：

${\displaystyle E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x}$

即

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0}$

上式左側是一個關於${\displaystyle \varepsilon }$的二次多項式，並且在 ${\displaystyle \varepsilon =0}$ 的時候取到最小值，所以有：

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0}$

另一方面，由於函數 ${\displaystyle w}$ 滿足邊界條件，即在 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上滿足 ${\displaystyle w=0}$，因此有：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

這個結果對所有滿足邊界條件的函數 ${\displaystyle w}$ 都成立，因此根據變分法基本引理，可以得到${\displaystyle \Delta u+f=0}$

參見

• 普拉托問題
• 格林第一公式