瞬子

瞬子(instanton)來自於運動方程式的經典解，無論在量子力學或量子場論，它都是有限的且為非零作用量。更精確地說，它是歐氏空間中經典場論運動方程式的解。它在量子場論中扮演重要角色：

• 在路徑積分中，用於對物理系統的經典效應進行量子修正。
• 它們可用於研究許多物理系統的穿隧效應，例如楊-米爾斯理論。

4維楊-米爾斯瞬子

若

${\displaystyle S_{YM}=\int tr(F\wedge *F)}$

是楊-米爾斯作用量（其中*是霍奇對偶），4維楊-米爾斯瞬子是下面公式的解：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\delta S_{YM}}{\delta A}}=d_{D}F=dF+[A,F]=0}$

其中的${\displaystyle d_{D}}$是外共變導數。因為比安基恆等式

${\displaystyle d_{D}*F=0}$

若

${\displaystyle F=\pm *F}$

我們滿足了上面的楊-米爾斯公式。解包括BPST瞬子。

陳-西蒙斯

第二陳類 / 陳作用量是

${\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}tr(F^{2})={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{M}dCS_{3}={\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}CS_{3}}$

在流形M的邊界，既然上面的作用量，聯絡形式也逼近

${\displaystyle A\to 0\equiv gdg^{-1}}$

這是因為

${\displaystyle A\equiv g(d+A)g^{-1}}$

而且曲率形式

${\displaystyle F\to 0}$

因為陳-西蒙斯形式

${\displaystyle CS_{3}=tr(AF-{\frac {1}{3}}A^{3})}$

所以

${\displaystyle CS_{3}\to -tr(A^{3})/3}$

${\displaystyle \int _{M}c_{2}=-{\frac {1}{2}}({\frac {i}{2\pi }})^{2}\int _{\partial M}tr(A^{3})/3={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}}$

若M是R4，其邊界是${\displaystyle \partial M=\partial R^{4}=S_{\infty }^{3}}$，一個3維球面。因為A是規范群G值的，A在邊界定義一個從G到${\displaystyle S^{3}}$的函數。這樣的函數是 第三同倫類 ${\displaystyle \pi _{3}(G)=\mathbb {Z} }$分類的。的確，上面的第二陳數是一個卷繞數。

${\displaystyle \int _{M}c_{2}={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\int _{\partial M}tr(gdg^{-1})^{3}=\nu \in \mathbb {Z} }$

所以若

${\displaystyle S=S_{YM}+\theta \int c_{2}}$

那麼威克轉動的路徑積分成為

${\displaystyle Z=\int dAe^{iS(A)}\to e^{i\theta \nu }\int e^{-S_{YM}}}$

通過Bogomol'nyi bound（BPS態），我們可以用卷繞數分類BPST瞬子。

參見

• BPST瞬子
• BPS態
• 磁單極子
• 孤子

參考文獻

• http://www.jstor.org/stable/79638 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Coleman, Aspects of Symmetry
• Polyakov, Gauge Fields and Strings
• Weinberg, QFT Volume 2
• Shifman. Advanced topics in QFT
• David Tong. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gaugetheory.html （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Michael Nielsen. Intro to Yang Mills. http://michaelnielsen.org/blog/yang_mills.pdf （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）