積範疇

此條目介紹的是範疇之間的運算。關於範疇內物件的運算，請見「積 (範疇論)」。

數學分支範疇論中，兩個範疇${\displaystyle {\mathcal {C,D}}}$之積，是集合的笛卡兒積的延申。乘積以${\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}$表示，其結果又稱積範疇^[1]（英語：product category）。定義雙函子及多函子時，要用到積範疇。^[2]

定義

積範疇${\displaystyle {\mathcal {C\times D}}}$的組成部分有：

• 物件，為

  有序對${\displaystyle (A,B)}$，其中${\displaystyle A}$是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的物件，而${\displaystyle B}$是${\displaystyle {\mathcal {D}}}$的物件；

• 態射，由物件${\displaystyle (A_{1},B_{1})}$至物件${\displaystyle (A_{2},B_{2})}$的態射為：

  有序對${\displaystyle (f,g)}$，其中${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$是${\displaystyle {\mathcal {C}}}$的態射，${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$是${\displaystyle {\mathcal {D}}}$的態射；

• 態射間的複合運算，是逐個分量的複合：

  ${\displaystyle (f_{2},g_{2})\circ (f_{1},g_{1})=(f_{2}\circ f_{1},g_{2}\circ g_{1});}$

• 物件上的恆等態射，由各分量上的恆等態射組成：

  ${\displaystyle 1_{(A,B)}=(1_{A},1_{B}).}$

與其他概念的關係

兩個小範疇之積，是其作為小範疇範疇（英語：Category of small categories）${\displaystyle \mathbf {Cat} }$的物件的乘積。定義域為積範疇的函子，也稱為雙函子。重要例子有Hom函子（英語：Hom functor），其定義域為某範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}}$及其對偶範疇${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}$之積：

${\displaystyle \mathrm {Hom} :{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\times {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} .}$

多個範疇之積

正如二元笛卡兒積可以推廣到n元笛卡兒積，範疇的二元積亦同樣可以推廣到${\displaystyle n}$元積。若不別同構之異，則二元範疇積可交換及可結合，故此${\displaystyle n}$元推廣在理論上並無定義額外的新事物。

參考文獻