合成列

在抽象代數中，合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 ${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{n}=M}$，使每個子商 ${\displaystyle M_{i}/M_{i+1}}$ 皆為單模；這些單模稱為合成因子，${\displaystyle n}$ 稱為合成長度，都是 ${\displaystyle M}$ 的不變量。亦可考慮 ${\displaystyle M}$ 的子模範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$，此時 ${\displaystyle [M]\in K({\mathcal {A}})}$ 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若爾當-赫爾德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。

群的情形

設 ${\displaystyle G}$ 為群，${\displaystyle G}$ 的合成列是對應於一族子群

${\displaystyle \{e\}=H_{0}\subset H_{1}\subset \cdots \subset H_{n}=G}$

滿足 ${\displaystyle H_{i}\triangleleft H_{i+1}}$，使其子商 ${\displaystyle H_{i+1}/H_{i}}$ 皆為非平凡的單群；易言之，${\displaystyle H_{i}}$ 是 ${\displaystyle H_{i+1}}$ 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。

模的情形

固定環 ${\displaystyle R}$ 及 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$。${\displaystyle M}$ 的合成列是一族子模

${\displaystyle \{0\}=J_{0}\subset \cdots \subset J_{n}=M}$

其中每個子商 ${\displaystyle J_{k+1}/J_{k}}$ 皆為非平凡的單模 。易言之，${\displaystyle J_{k}}$ 是 ${\displaystyle J_{k+1}}$ 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 ${\displaystyle R}$ 是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 ${\displaystyle R}$-模皆有合成列。

例子

例子. 考慮 12 階循環群 ${\displaystyle C_{12}}$，它具有三個相異的合成列

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{2}\triangleleft C_{4}\triangleleft C_{12}}$,

${\displaystyle C_{1}\triangleleft C_{3}\triangleleft C_{6}\triangleleft C_{12}}$

合成因子分別為

${\displaystyle C_{2},C_{3},C_{2}}$

${\displaystyle C_{2},C_{2},C_{3}}$

${\displaystyle C_{3},C_{2},C_{2}}$

其間僅差個置換。

若爾當-赫爾德定理

定理. 若群 ${\displaystyle G}$〔或 ${\displaystyle R}$-模 ${\displaystyle M}$〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

${\displaystyle \{0\}=M_{0}\subset \cdots \subset M_{r}=M}$

${\displaystyle \{0\}=M'_{0}\subset \cdots \subset M'_{s}=M}$

對 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)}$ 行數學歸納法。若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=0}$ 則 ${\displaystyle M=0}$，若 ${\displaystyle \mathrm {min} (r,s)=1}$ 則 ${\displaystyle M}$ 是單模。以下假定 ${\displaystyle r,s\geq 2}$。

若 ${\displaystyle M_{r-1}=M_{s-1}}$，據歸納法假設，${\displaystyle r-1=s-1}$ 且 ${\displaystyle M_{i+1}/M_{i}}$ 與 ${\displaystyle M'_{i+1}/M'_{i}}$（${\displaystyle 0\leq i\leq r-2}$）之間僅差置換。此外 ${\displaystyle M/M_{r-1}=M_{/}M'_{s-1}}$，故定理成立。

設 ${\displaystyle M_{r-1}\neq M'_{s-1}}$。此時必有 ${\displaystyle M_{r-1}+M'_{s-1}=M}$。置 ${\displaystyle N:=M_{r-1}\cap M'_{s-1}}$，於是

${\displaystyle M/M_{r-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1}\simeq M'_{s-1}/N}$

${\displaystyle M/M'_{s-1}=(M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1}\simeq M_{r-1}/N}$

取 ${\displaystyle N}$ 的合成列 ${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N}$，依上式知

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M_{r-1}\subset M\quad \ldots (*)}$

${\displaystyle \{0\}=K_{0}\subset \cdots \subset K_{t}=N\subset M'_{s-1}\subset M\quad \ldots (**)}$

皆為合成列，其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設，若同刪去尾項 ${\displaystyle M}$，則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 ${\displaystyle M_{\bullet },M'_{\bullet }}$ 的合成因子，至多差個置換。是故定理得證。

參見

• 正規列
• 長度 (模論)

站外連結

• O.A. Ivanova, L.A. Skornyakov, Composition sequence, 数学百科全书, EMS Press, 2001 （英語）