素理想

在數學中，素理想（Prime ideal）是環的一個子集，與整數環中的素數共享許多重要的性質。

關於序理論中的素理想，請見「理想 (序理論)」。

正式定義

• 環R的理想P是素理想，當且僅當它是一個真理想（也就是說，P ≠ R），且對於R的任何兩個理想A和B，若有AB ⊆ P，則A ⊆ P或B ⊆ P。

交換環的素理想

素理想對交換環有一個較簡單的描述：設R是一個交換環，如果它具有以下兩個性質,那麼R的理想P是素理想：

• 只要a，b是R的兩個元素，使得它們的乘積ab位於P內，那麼要麼a位於P內，要麼b位於P內。
• P不等於整個環R。

這推廣了素數的以下性質：如果p是一個素數，且p能整除兩個整數的乘積ab，那麼p要麼能整除a，要麼能整除b。因此，我們可以說：

正整數n是素數，當且僅當理想nZ是Z的素理想。

例子

• 如果R表示復係數二元多項式環C[X, Y]，那麼由多項式Y² − X³ − X − 1生成的理想是素理想（參見橢圓曲線）。
• 在整係數多項式環Z[X]中，由2和X生成的理想是素理想。它由所有常數項為偶數的多項式組成。
• 在任何環R中，極大理想是一個理想M，它是R的所有真理想的集合中的極大元，也就是說，M包含在R的正好兩個理想內，即M本身和整個環R。每一個極大理想實際上是素理想；在主理想整環中，每一個非零的素理想都是極大的，但這一般不成立。
• 如果M是光滑流形，R是M上的光滑函數環，而x是M中的一個點，那麼所有滿足f(x) = 0的光滑函數f形成了R內的一個素理想（甚至是極大理想）。

性質

• 交換環R中的理想I是素理想，當且僅當商環R/I是整環。
• 環R的理想I是素理想，當且僅當R \ I在乘法運算下封閉。
• 每一個非零的交換環都含有至少一個素理想（實際上它含有至少一個極大理想），這是克魯爾定理的一個直接結果。
• 一個交換環是整環，當且僅當{0}是一個素理想。
• 一個交換環是體，當且僅當{0}是唯一的素理想，或等價地，當且僅當{0}是一個極大理想。
• 一個素理想在環同態下的原像是素理想。
• 兩個素理想的和不一定是素理想。例如，考慮環${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$，它的素理想為P = (x² + y² - 1)和Q = (x)（分別由x² + y² - 1和x生成）。然而，它們的和P + Q = (x² + y² - 1 , x) = (y² - 1 , x)不是素理想。注意商環具有零因子意味着不是整環，因此P + Q不能是素理想。

非交換環的素理想

如果R是非交換環，那麼R的理想P是素理想，如果它具有以下兩個性質：

• 只要a，b是R的兩個元素，使得對於R的所有元素r，它們的乘積arb都位於P內，那麼要麼a位於P內，要麼b位於P內。
• P不等於整個環R。

對於交換環，這個定義等價於前面所述的定義。對於非交換環，這兩個定義是不同的。使ab位於P內意味着a或b位於P內的理想稱為完全素理想。完全素理想是素理想，但反過來不成立。例如，n × n矩陣環中的零理想是素理想，但不是完全素理想。

例子

• 任何極大理想都是素理想。
• 任何本原理想都是素理想。
• 任何素環的零理想都是素理想。

參考文獻

• David S. Dummit and Richard M. Foote. Abstract Algebra 第三版. John Wiley & Sons, Inc. 2004年: 第255–256頁.