維度正規化

在量子場論中，維度正規化是一種正規化辦法。Giambiagi、Bollini、^[1][2] 傑拉德·特·胡夫特和馬丁紐斯·韋爾特曼^[3]都提出了這個辦法。物理學家使用維度正規化來計算費曼圖的積分。積分的值是d的亞純函數；d是時空的維度。

其他應用

Wilson–Fisher固定點（英語：Wilson–Fisher fixed point）、分形維數^[4]

舉例

${\displaystyle \int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}},}$

若d = 4 − ε，上文的積分是

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$

有人認為Ζ函數正規化和維度正規化是等效的等同因為解析延拓。^[5]