線性代數群

在數學中，線性代數群是指由多項式方程定義的、可逆${\displaystyle n\times n}$矩陣群中的一個子群。舉例來說，正交群就是這樣的一個線性代數群，它由滿足關係式${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$的矩陣${\displaystyle M}$組成，其中${\displaystyle M^{T}}$表示${\displaystyle M}$的轉置。

許多李群都可以視為定義在實數域或複數域上的線性代數群。例如，每一個緊李群都可看作定義在實數域${\displaystyle R}$上的線性代數群（其必然是${\displaystyle R}$-各向異性且為約化群）；而許多非緊群，如單李群SL(n,R)也同樣屬於線性代數群的範疇。

單李群的分類工作由威廉·基靈與埃利·嘉當在1880至1890年代完成。當時，人們尚未充分利用這些群可由多項式方程定義這一事實，也就是說，並未特別強調它們的代數群性質。代數群理論的奠基者包括毛雷爾（Ludwig Maurer）、克勞德·謝瓦萊與科爾欣（Kolchin）^[1]。到了1950年代，阿爾芒·博雷爾（Armand Borel）進一步系統化和完善了現代代數群理論的框架。

代數群理論最早的重要應用之一，是用來定義謝瓦萊群。

參見

• 李型群
• 外爾群
• 朗蘭茲綱領
• 幾何朗蘭茲綱領
• 主齊性空間
• 微分伽羅瓦理論