維納-霍普夫方法

維納-霍普夫方法（Wiener–Hopf method）是一種廣泛應用於應用數學領域的數學技巧。該方法最初由諾伯特·維納和艾伯哈德·霍普夫提出，用以求解積分方程組，但隨後在具有混合邊界條件的二維偏微分方程求解中得到了更為廣泛的應用。總體而言，這一方法的核心思想是利用變換函數的複分析性質。通常採用標準的傅里葉變換，但在某些情況下，也可使用其他類型的變換，如梅林變換等。

在一般情況下，首先控制方程與邊界條件進行變換,藉此定義出一對複函數（通常分別以「+」與「−」作下標標記），它們分別在複平面的上半平面與下半平面內解析，並且在各自區域內的增長速度不超過多項式級。這兩函數在複平面上的某一區域（通常為包含實軸的狹長帶狀區域）相互重合。由於解析延拓原理，這兩函數可視為定義了一個在整個複平面上解析的單一函數。根據劉維爾定理，該函數應為一個未知多項式，而該多項式往往是常數或零。通過分析邊界的端點與拐角處的條件，可以確定此多項式的次數。

維納-霍普夫方法中的基本方程形式如下：

${\displaystyle A(\alpha )\Xi _{+}(\alpha )+B(\alpha )\Psi _{-}(\alpha )+C(\alpha )=0,}$

其中，${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、${\displaystyle C}$為已知的全純函數，而${\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}$和${\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}$為未知函數。該方程在複平面變量${\displaystyle \alpha }$的帶狀區域${\displaystyle \tau _{-}<{\mathfrak {Im}}(\alpha )<\tau _{+}}$內成立。求解${\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}$與${\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}$的問題，即被稱為維納-霍普夫問題^[1]。

參見

• 維納濾波
• 黎曼–希爾伯特問題