維維亞尼定理

維維亞尼(Viviani)定理說明：在等邊三角形內任意一點P跟三邊的垂直距離之和，等於三角形的高。

這個定理可一般化為：等角多邊形內任意一點P跟各邊的垂直距離之和，是不變的，跟該點的位置無關。

它以溫琴佐·維維亞尼命名。

證明

設${\displaystyle \triangle ABC}$為等邊三角形，${\displaystyle P}$為其內部一點。設${\displaystyle s}$為其邊長，${\displaystyle h}$為高，${\displaystyle l,\;m,\;n}$為${\displaystyle P}$到各邊的距離。那麼：

${\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP},}$

${\displaystyle {\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}},}$

${\displaystyle h=l+m+n.}$

Q.E.D.

參考

• http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）