羅德里格公式

羅德里格公式（英語：Rodrigues' formula），舊稱為艾沃里–雅可比公式，是一個關於勒壤得多項式的公式，分別被 歐林 羅德里格 （1816），詹姆斯 艾沃里 （1824）及卡爾 雅可比 （1827）所獨立發現。在埃爾米特於1865年指出羅德里格是第一個發現的人後，Heine在1878年建議使用「羅德里格公式」此名稱。此名稱亦被用於其它正交多項式的相似公式中。Askey (2005)詳述了羅德里格公式的歷史。

關於幾何學中關於向量的旋轉的演算法（Rodrigues' rotation formula），請見「羅德里格旋轉公式」。

敍述

令${\displaystyle \{P_{n}(x)\}_{n=0}^{\infty }}$為一正交多項式序列，並滿足以下條件： $${\displaystyle \int _{a}^{b}P_{m}(x)P_{n}(x)w(x)\,dx=K_{n}\delta _{m,n},}$$ 其中${\displaystyle w(x)}$ 為權函數，${\displaystyle K_{n}}$為與${\displaystyle n}$有關之常數，${\displaystyle \delta _{m,n}}$則是克羅內克δ函數。如果權函數${\displaystyle w(x)}$滿足以下微分方程（又稱Pearson微分方程）： $${\displaystyle {\frac {w'(x)}{w(x)}}={\frac {A(x)}{B(x)}},}$$ 其中${\displaystyle A(x)}$ 為次數最高為一的多項式，${\displaystyle B(x)}$為次數最高為二的多項式；且以下極限成立： $${\displaystyle \lim _{x\to a}w(x)B(x)=0,\qquad \lim _{x\to b}w(x)B(x)=0,}$$ 那麼我們可以證明${\displaystyle P_{n}(x)}$滿足以下遞迴關係式 $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {c_{n}}{w(x)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[B(x)^{n}w(x)\right],}$$ 其中${\displaystyle c_{n}}$為常數。此關係式稱為「羅形公式」或是簡稱為「羅德里格公式」^[1]

羅形公式最常見的應用為勒壤得多項式、拉蓋爾多項式和埃爾米特多項式。

對勒壤得多項式${\displaystyle P_{n}}$，羅德里格描述他的公式如下： $${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].}$$

拉蓋爾多項式通常被記為L₀, L₁, ⋯⋯，其羅形公式可被寫為： $${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},}$$

埃爾米特多項式的羅德里格公式則為： $${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}$$

其他從史特姆-萊歐維爾方程所得之正交函數序列也有類似的公式，這些公式也被稱為羅德里格公式（或是羅形公式），特別是所得函數為多項式時。