聯合分布

在概率論中, 對定義在相同樣本空間^[1]的兩個隨機變量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$，其聯合分布是同時對於${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的概率分布。

離散隨機變量的聯合分布

對離散隨機變量而言，聯合分布概率質量函數為${\displaystyle Pr(X=x\,\&\,Y=y)}$，即

${\displaystyle P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;}$

因為是概率分布函數，所以必須有

${\displaystyle \sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;}$

連續隨機變量的聯合分布

類似地，對連續隨機變量而言，聯合分布概率密度函數為${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$，其中${\displaystyle f_{Y|X}(y|x)}$和${\displaystyle f_{X|Y}(x|y)}$分別代表${\displaystyle X=x}$時${\displaystyle Y}$的條件分布以及${\displaystyle Y=y}$時${\displaystyle X}$的條件分布；${\displaystyle f_{X}(x)}$和${\displaystyle f_{Y}(y)}$分別代表${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的邊緣分布。

同樣地，因為是概率分布函數，所以必須有

$${\displaystyle \int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.}$$

獨立變量的聯合分布

對於兩相互獨立的事件${\displaystyle P(X)}$及${\displaystyle P(Y)}$，任意x和y而言有離散隨機變量${\displaystyle \ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)}$，或者有連續隨機變量${\displaystyle \ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)}$。

多元聯合分布

2元聯合分布可以推廣到任意多元的情況${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$

${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).}$

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