自反空間

自反空間是泛函分析中的概念。如果一個巴拿赫空間（或更一般地，一個局部凸拓撲向量空間）的連續對偶空間的連續對偶空間「是」其自身，就稱這個空間為自反空間。其中的「是」表示兩者無論作為線性向量空間還是作為拓撲空間都是等價的。自反的巴拿赫空間常常可以通過它們的集合特性來刻畫。

詳細定義

設${\displaystyle X}$為標量域${\displaystyle \mathbb {F} }$（${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$或${\displaystyle \mathbb {C} }$）上的賦范向量空間，其中的範數記作${\displaystyle \|\cdot \|}$。考慮它的對偶賦范空間${\displaystyle X'}$。依定義，${\displaystyle X'}$是由所有從${\displaystyle X}$射到標量域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的連續線性泛函${\displaystyle f\;\;:\;X\to {\mathbb {F} }}$構成的空間（也稱為連續對偶空間），裝備了對偶範數${\displaystyle \|\cdot \|'}$：

${\displaystyle \|f\|'=\sup\{|f(x)|\,:\,x\in X,\ \|x\|\leq 1\}.}$

對偶空間${\displaystyle X'}$因此也是賦范空間（可以證明是巴拿赫空間），而它的對偶賦范空間${\displaystyle X''=(X')'}$則稱為元空間${\displaystyle X}$的二次對偶空間（或稱雙對偶空間）。二次對偶空間由所有從${\displaystyle X'}$射到標量域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的連續線性泛函${\displaystyle h\;\;:\;X'\to {\mathbb {F} }}$構成的賦范空間，其中的範數${\displaystyle \|\cdot \|''}$是${\displaystyle \|\cdot \|'}$的對偶範數。空間${\displaystyle X}$中的任意向量${\displaystyle x\in X}$都可以誘導一個標量函數${\displaystyle J(x):X'\to {\mathbb {F} }}$，由以下的方法定義：

${\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X',}$

這個${\displaystyle J(x)}$是一個從${\displaystyle X'}$射到標量域${\displaystyle \mathbb {F} }$上的連續線性泛函，所以${\displaystyle J(x)\in X''}$。因而可以定義一個映射：

${\displaystyle J:X\to X''}$

這個映射稱作「賦值映射」，是一個線性映射。根據哈恩－巴拿赫定理，映射${\displaystyle J}$是單射，並且保持範數：

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \|J(x)\|''=\|x\|,}$

這說明，映射${\displaystyle J}$將空間${\displaystyle X}$等距地映射到其在${\displaystyle X''}$中的像：${\displaystyle J(X)}$上。而映射的像${\displaystyle J(X)}$不一定是${\displaystyle X''}$的全部，有可能只是${\displaystyle X''}$的一個拓撲子空間。而空間${\displaystyle X}$被稱為自反空間，如果它滿足以下幾個等價條件中的一個：

1. 賦值映射${\displaystyle J:X\to X''}$是滿射；
2. 賦值映射${\displaystyle J:X\to X''}$是賦范空間之間的等距同構；
3. 賦值映射${\displaystyle J:X\to X''}$是賦范空間之間的同構^{[1]:15[2]:129}。

自反空間必然是巴拿赫空間，因為它和自身的二次對偶空間同構，而後者必然是巴拿赫空間^[3]:49。

自反空間通過賦值映射與其二次對偶空間等距同構。然而也存在這樣的巴拿赫空間${\displaystyle X}$，它與自身的二次對偶空間通過另外的方式等距同構（在另外的範數下），但如果考察賦值映射${\displaystyle J}$，則它只將元空間${\displaystyle X}$和它的二次對偶空間的一個子空間進行等距同構。這樣的空間稱為準自反空間^{[4][1]:15[2]:130}。如果賦值映射${\displaystyle J}$將${\displaystyle X}$同構到它的二次對偶空間的某個子空間，而這個子空間的余維數為d，則稱元空間${\displaystyle X}$為d階准自反空間。

例子

• 每個有限維賦范向量空間都是自反空間。這是因為有限維賦范向量空間的對偶空間的維數等於元空間（因此二次對偶空間的維數也等於元空間）。因此，如果考慮賦值映射${\displaystyle J}$，根據秩－零化度定理，${\displaystyle J}$是同構。
• 考慮由所有極限為零的實數列${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$構成的向量空間${\displaystyle c_{0}}$，並考慮其上的範數：

  ${\displaystyle \forall a=\left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in c_{0},\;\;\|a\|=\sup _{n\in \mathbb {N} }\{a_{n}\}}$

賦范向量空間${\displaystyle c_{0}}$不是自反空間^{[3]:49[2]:130}。由以下提到的基本性質可以推出，序列空間${\displaystyle \ell ^{1}}$和${\displaystyle \ell ^{\infty }}$也不是自反空間。因為${\displaystyle \ell ^{1}}$是${\displaystyle c_{0}}$的對偶空間，${\displaystyle \ell ^{\infty }}$是${\displaystyle \ell ^{1}}$的對偶空間。

• 所有的希爾伯特空間都是自反空間。比如說，${\displaystyle L^{2}}$空間是自反空間^{[3]:49[2]:130}。另外，當${\displaystyle 1<p<\infty }$時，${\displaystyle L^{p}}$空間都是自反空間。根據更一般的結論（米爾曼－佩提斯定理（英語：Milman–Pettis theorem）），所有一致凸的巴拿赫空間都是自反空間。${\displaystyle L^{1}(\mu )}$空間和${\displaystyle L^{\infty }(\mu )}$空間在維數是無窮維的時候都不是自反空間。與此類似的，由區間[0, 1]上的連續函數構成的巴拿赫空間${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1])}$也不是自反空間。^[3]:50-51

性質

巴拿赫空間

注意：本節中的「對偶空間」指的是拓撲意義上的「連續對偶空間」

• 如果一個巴拿赫空間Y和某個自反巴拿赫空間X同構，那麼Y也是自反空間^[5]:242。
• 自反巴拿赫空間的任意閉合子空間都是自反空間。^[3]:49
• 自反巴拿赫空間空間對自身的任一個閉合子空間的商空間也是自反空間^[5]:242。
• 如果一個巴拿赫空間E的某個閉合子空間F以及E對F的商空間E/F都是自反空間，那麼E自身也是巴拿赫空間^[5]:242。
• 設X是巴拿赫空間，那麼以下的命題相互等價：
  1. X是自反空間；
  2. X的對偶空間是自反空間^{[3]:49-50[2]:130}。
  3. X中的閉單位球在弱拓撲中緊緻（角谷靜夫定理）^{[3]:49[2]:130}。
  4. X中的有界序列都有弱收斂的子列^[5]:244。
  5. X中的任何連續線性泛函都在X中的閉單位球上達到最大值（James定理）^[3]:49-50。

參見