反及邏輯

布林函數反及(英語：NAND)是自足算子。這意味着任何布林表達式都可以僅使用反及閘(英語：NAND gate)運算重新表示為等效表達式。例如，函數NOT(x)可以等效表示為NAND(x,x)。在數位電子電路領域，這意味着僅使用反及閘就可以實現任何布林函數。

亨利·莫里斯·謝費爾（英語：Henry M. Sheffer）於1913年在《美國數學學會會刊》（英語：Transactions of the American Mathematical Society） （Sheffer 1913）上發表了其數學證明。 反或函數也存在類似的情況，因此被稱為反或邏輯。

反及閘

反及閘是反相的及閘。它具有以下真值表：

Q = A與非B 真值表 輸入 A 輸入 B 輸出Q 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

CMOS晶體管反及閘元件。V<sub id="mwRQ">dd</sub>表示正電壓。

在CMOS邏輯中，如果A和B輸入均為高電平，則兩個NMOS晶體管（圖下半部分）均會導通，兩個PMOS晶體管（圖上半部分）均不會導通，輸出端與Vss（地）之間會建立導電路徑，使輸出端為低電位。如果A和B輸入均為低電位，則兩個NMOS晶體管均不會導通，而兩個PMOS晶體管均會導通，從而在輸出端與Vdd（電壓源）之間通路，使輸出端為高電位。如果A或B輸入中有一個為低電平，則其中一個NMOS晶體管不會導通，其中一個PMOS晶體管會導通，從而在輸出端與V_dd（電壓源）之間島通，使輸出端為高電位。由於只有在兩個輸入都為高電位時，兩個輸入的配置才會導致輸出端為低電位，因此該電路實現了一個反及閘。

使用反及閘製作其他邏輯閘

反及閘是一種通用邏輯閘，這意味着任何其他邏輯閘都可以表示為反及閘的組合。

反閘

反閘(英語：NOT gate)由一個反及閘的兩個輸入口一起接入一個輸入源而成。由於反及閘等效於一個及閘加一個反閘，因此將反及閘的的兩個輸入口共接一個輸入源起來就只剩下反閘的功能。

所需反閘	利用反及閘組成的構造
Q = NOT( A )	=A NAND A
真值表 輸入 A 輸出Q 0 1 1 0

及閘

及閘(英語：AND gate)是通過反轉反及閘的輸出而製成的，如下所示。

所需及閘	利用反及閘組成的構造
Q = A AND B	= ( A NAND B ) NAND ( A NAND B )
真值表 輸入 A 輸入 B 輸出Q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

或閘

如果檢查反及閘的真值表或應用德摩根定律，可以看出，如果任何輸入為 0，則輸出將為 1。但是，要成為或閘(英語：OR gate)，只要任何輸入為 1，則輸出必須為 1。因此，如果如果將兩個輸入反相，任何高輸入都會導致高輸出。

所需或閘	利用反及閘組成的構造
Q = A OR B	= （ A NAND A ）NAND（ B NAND B ）
真值表 輸入 A 輸入 B 輸出Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

反或閘

反或閘(英語：NOR gate)是輸出反相後的或閘。當輸入 A 和輸入 B 都為高電平時，輸出為高電平。

所需反或閘	利用反及閘組成的構造
Q = A NOR B	= [ ( A NAND A ) NAND ( B NAND B ) ] NAND [ ( A NAND A ) NAND ( B NAND B ) ]
真值表 輸入 A 輸入 B 輸出Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

互斥或閘

互斥或閘(英語：XOR gate)由四個反及閘連接而成，如下所示。這種結構的傳輸延遲是單個反及閘的三倍。

所需的互斥或閘	利用反及閘組成的構造
Q = A XOR B	= [ A NAND ( A NAND B ) ] NAND [ B NAND ( A NAND B ) ]
真值表 輸入 A 輸入 B 輸出Q 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

或者，根據德·摩根定律，反及閘是輸出反向的或閘，透過析取範式來製作互斥或閘${\displaystyle A\cdot {\overline {B}}+{\overline {A}}\cdot B}$。這種結構使用了五個而非四個反及閘。

所需互斥或閘	利用反及閘組成的構造
Q = A XOR B	= [ B NAND ( A NAND A ) ] NAND [ A NAND ( B NAND B ) ]

反互斥或閘

根據德·摩根定律，反及閘是輸出反向的或閘，透過析取範式來製作同或閘${\displaystyle A\cdot B+{\overline {A}}\cdot {\overline {B}}}$。這種反互斥或閘(英語：XNOR gate)結構使用了五個反及閘，且這種結構的傳輸延遲是單個反及閘的三倍。

所需的反互斥或閘	利用反及閘組成的構造
Q = A XNOR B	= [ ( A NAND A ) NAND ( B NAND B ) ] NAND ( A NAND B )
輸入 A 輸入 B 輸出Q 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

或者，也可以使用四個反及閘的版本的互斥或閘加上反相器也可得到反互斥或閘。這種結構的傳播延遲是單個反及閘的四倍（而不是三倍）。

所需的反互斥或閘	利用反及閘組成的構造
Q = A XNOR B	= { [ A NAND ( A NAND B ) ] NAND [ B NAND ( A NAND B ) ] } NAND { [ A NAND ( A NAND B ) ] NAND [ B NAND ( A NAND B ) ] }

多路復用器

多路復用器(英語：MUX gate)是一個三輸入邏輯閘，它使用其中一個輸入（稱為選擇位）來選擇另外兩個輸入（稱為數據位）之一，並且僅輸出選定的數據位。 ^[1]

所需多路復用器	利用反及閘組成的構造
Q = [ A AND NOT( S ) ] OR ( B AND S )	= [ A NAND ( S NAND S ) ] NAND ( B NAND S )
	使用 反及閘的 多路復用器電路圖
真值表 輸入 A 輸入 B 選擇 輸出Q 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1

解復用器

解復用器執行與復用器相反的功能：它接受單個輸入，並根據指定要選擇哪個輸出的選擇器位，將其引導至兩個可能的輸出之一。 ^[1]

所需的 解復用器	利用反及閘組成的構造
真值表 輸入 選擇 輸出 A 輸出B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1