西爾維斯特-高洛伊定理

西爾維斯特–高洛伊定理（Sylvester–Gallai theorem）說明若在平面上有有限數目的點，點的數目多於2，如果過任意兩點的直線都必過第三點，則所有的點共線。（等價於若平面內所有點不全共線，則必有一條直線恰好過兩點。）

這個定理在無限點的情況並不成立，可以考慮格點${\displaystyle {\mathbb {Z} }\times {\mathbb {Z} }}$。

證明

以下使用無窮遞降法：

1. 在平面上有有限多點，若它們都共線，那我們就找到想要的東西；若非，定義一條「連線」為一條連起來至少有兩點的線。設I為一條連線，因為不是所有點都共線，至少有一點P不屬於I。
2. 若I不是有剛好兩點，I便至少有三點，稱為A,B,C。不失一般性，設B在A和C之間，因為${\displaystyle \angle ABP+\angle CBP=\pi }$，所以兩隻角不可能同時是鈍角。不失一般性設${\displaystyle \angle ABP}$不是鈍角，而是銳角或直角。
3. 設連結C和P的線為m，m是不包括B的連線，而且B和m的距離比P和I的距離小。
4. 以B和m取代第二步的P和I。這個動作不可能無窮次重複，因為若能無窮次重複，連線和某一不在連線上的點距離便會得出一個無窮遞降的序列，但只有有限個點和有限條連線，這是不可能的。因此，至少有一條線剛好有兩點。

推廣

Dirac的猜想的反例。

這個定理說明了在所有點至少有一條線有剛好兩點。在甚麼情況下，只有一條線有剛好兩點呢？沒有的這樣的例子。Dirac猜想在平面上若有n點，則有至少有n/2條線有剛好兩點。^[1]

可惜這個猜想是不對的。但截至2006年，已知有兩個反例：

• 一個等邊三角形的三個頂點、各邊的中點和三角形中心，共有7點，但只有三條線有剛好兩點。
• 兩個大小相等的正五邊形，其中一邊重疊。取這兩個五邊形的所有頂點（8點），加上重疊邊的中點（1點），再加上取四組平行線上的無限遠點（4點）。該四組平行線分別是跟重疊邊成0°、90°、+36°和-36°的。在經過這13點的線中，只有6條線有剛好兩點。^[2]

雖然Dirac的猜想不對，但有較弱的結果：在n點中，至少有${\displaystyle \lceil {\frac {6n}{13}}\rceil }$條線剛好有兩點通過。^[3]

Beck定理則說明了，存在常數C,K，使以下其中一個論述為真：

• 有一條線有n/C點。
• 至少有n²/K條線，線上至少有兩點。

歷史

1893年，詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將此問題提出^[4]。艾狄胥·帕爾也曾在1943年獨立提出這個定理。^[5]1944年高洛伊·蒂博爾（英語：Tibor Gallai）發表了證明^[6]。 不過，1940年E. Melchior早已證明了。^[7]