角動量算符對易關係

在量子力學中，角動量算符之間的對易關係是基本的對易關係之一。從這些對易關係出發就足以得出關於角動量算符及其本徵函數的許多性質，而不需要關心角動量算符在某個表象下的具體表達式^[1][2]。從數學上看，這一套理論實際上是研究與李代數 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ 相關的性質^[3]。

本條目中，向量與標量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小則用 ${\displaystyle r\,\!}$ 來表示。

導引

在三維空間中的角動量算符（經典角動量的量子化）滿足下列的基本對易關係式^{[注 1]}：

${\displaystyle [L_{\alpha },L_{\beta }]=i\hbar \sum _{\gamma }\epsilon _{\alpha \beta \gamma }L_{\gamma },\quad \alpha ,\beta ,\gamma \in \{x,y,z\}}$

式中${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma }}$是列維-奇維塔符號。

上面的關係式反映了角動量算符的內在性質。反過來，可以直接由這組對易關係式出發，把滿足這樣性質的算符都稱為角動量算符。

定義

若有三個算符

${\displaystyle j_{x},j_{y},j_{z}}$

滿足對易關係

${\displaystyle [j_{\alpha },j_{\beta }]=i\hbar \sum _{\gamma }\epsilon _{\alpha \beta \gamma }j_{\gamma },\quad \alpha ,\beta ,\gamma \in \{x,y,z\}}$

則稱以這三個算符為分量的矢量算符

${\displaystyle \mathbf {j} =(j_{x},j_{y},j_{z})}$

為一個角動量算符^[1]。

這樣定義的角動量算符自然地包含了軌道角動量、自旋角動量、總角動量等。

運用叉乘的符號，上面的對易關係式也可以簡單表示為：

${\displaystyle \mathbf {j} \times \mathbf {j} =i\hbar \mathbf {j} }$

角動量平方算符

定義角動量平方算符為

${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}=\mathbf {j} \cdot \mathbf {j} =j_{x}^{2}+j_{y}^{2}+j_{z}^{2}}$

直接計算可以得到：

${\displaystyle [\mathbf {j} ^{2},j_{\alpha }]=0,\quad \alpha =x,y,z}$

升算符與降算符

進一步定義

${\displaystyle j_{+}=j_{x}+ij_{y},j_{-}=j_{x}-ij_{y}}$

它們分別稱為升算符與降算符，則直接計算可以得到下列關係式：

${\displaystyle [\mathrm {j} ^{2},j_{\pm }]=0}$

${\displaystyle [j_{z},j_{\pm }]=\pm \hbar j_{\pm }}$

${\displaystyle j_{\pm }j_{\mp }=\mathbf {j} ^{2}-j_{z}^{2}\pm \hbar j_{z}}$

${\displaystyle [j_{+},j_{-}]=2\hbar j_{z}}$

${\displaystyle [j_{+},j_{-}]_{+}=2(\mathbf {j} ^{2}-j_{z}^{2})}$

最後一式中的是反對易子。

本徵函數

由於角動量平方算符與任一分量對易，故它們存在共同的本徵函數，記作

${\displaystyle |jm\rangle }$

使得

${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}|jm\rangle =\lambda \hbar ^{2}|jm\rangle ,\quad j_{z}|jm\rangle =m\hbar |jm\rangle }$

且滿足正交歸一關係：

${\displaystyle \langle j'm'|jm\rangle =\delta _{jj'}\delta _{mm'}}$

對於任意一個算符 f，我們可以取矩陣元

${\displaystyle \langle j'm'|f|jm\rangle }$

對上一小節給出的前三個對易關係式兩邊分別取矩陣元。

由第一、二式可得：

${\displaystyle \langle j'm'|j_{\pm }|jm\rangle =\delta _{jj'}\delta _{m',m\pm 1}\langle jm\pm 1|j_{\pm }|jm\rangle }$

對第三式取矩陣元，並在其中插入單位分解

${\displaystyle 1=\sum _{j,m}|jm\rangle \langle jm|}$

得：

${\displaystyle \langle jm\pm 1|j_{\pm }|jm\rangle \langle jm|j_{\mp }|jm\pm 1\rangle =\lambda -(m\pm 1)^{2}\pm (m\pm 1)}$

再利用 j₊ 與 j_- 互為伴算符，就得到

${\displaystyle j_{\pm }|jm\rangle =e^{i\delta }{\sqrt {\lambda -m(m\pm 1)}}|jm\pm 1\rangle }$

習慣上取 δ=0，這稱為 Condon-Shortle 慣例^[1]。取一個本徵函數，不斷用升算符作用，每次將 m 增加 1，如果這個過程不終止，則上式中的根號內的部分總會變成負數，這與任意態函數的模方為非負數矛盾。因此，上述過程只能在某一步終止，即對於某個 m，根號下的部分變為 0，此時對應的 m 就是 m 的上確界，而 λ=m(m+1)。對降算符也可以進行類似的討論，最後得到

${\displaystyle \lambda =m_{\max(}m_{\max }+1)=m_{\min(}m_{\min }-1)}$

此外，m 的下確界與 m 的上確界的本徵函數間也必須可以通過有限次升降算符的作用聯繫起來，即

${\displaystyle m_{\max }-m_{\min }\in \mathbb {Z} }$

綜合起來，就得到量子化條件

${\displaystyle \lambda =j(j+1),2j\in \mathbb {Z} _{0}^{+},m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j}$

矩陣表示

上面一小節實際上已經給出了各個角動量算符矩陣元的計算公式，下面是一些具體的例子。

j=0 時的矩陣表示是平凡的。

j=1/2 時的矩陣表示對應着泡利矩陣，

${\displaystyle j_{z}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&0\\0&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}},j_{+}={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},j_{-}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},j_{x}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&0\end{bmatrix}},j_{y}={\begin{bmatrix}0&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&0\end{bmatrix}}}$

j=1 時的矩陣表示，

${\displaystyle j_{z}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},j_{+}={\begin{bmatrix}0&{\sqrt {2}}&0\\0&0&{\sqrt {2}}\\0&0&0\end{bmatrix}},j_{-}={\begin{bmatrix}0&0&0\\{\sqrt {2}}&0&0\\0&{\sqrt {2}}&0\end{bmatrix}},j_{x}={\begin{bmatrix}0&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\end{bmatrix}},j_{y}={\begin{bmatrix}0&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}i&0&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\\0&{\frac {\sqrt {2}}{2}}i&0\end{bmatrix}},}$