諾特群

在群論中，諾特群(英語：Noetherian group)是指群使得其子群滿足升鏈條件。

定義

設${\displaystyle G}$是一個群。那麼以下條件等價，滿足此條件的群稱為諾特群。

• ${\displaystyle G}$的子群格 ${\displaystyle \operatorname {Sub} (G)}$滿足升鏈條件。
• ${\displaystyle G}$的所有子群都是有限生成群。

性質

關於諸運算的封閉性

諾特群的子群以及商群是諾特群。諾特群被諾特群的擴張仍是諾特群。

諾特可解群

對於群${\displaystyle G}$，以下條件等價。^[1]:165

• ${\displaystyle G}$是可解群，並且是諾特群。
• 存在${\displaystyle G}$的子群列${\displaystyle 1=G_{0}\vartriangleleft G_{1}\vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_{n}=G}$，使得對於每個${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$有${\displaystyle G_{i}\vartriangleleft G_{i+1}}$且${\displaystyle G_{i+1}/G_{i}}$是循環群。

滿足這個條件的群稱為多循環群。

對於冪零群${\displaystyle G}$，以下條件等價。^[1]:145

• ${\displaystyle G}$是諾特群。
• ${\displaystyle G}$是有限生成群。

例

所有有限群都是諾特群。所有有限生成冪零群是多循環群從而是諾特群。^[1]:145

多循環群被有限群的擴張是諾特群。其逆不成立，也就是說一個諾特群可能不具有指數有限的多循環正規子群。但這樣的反例的構造是相當複雜的。

歷史

諾特群的名稱取自埃米·諾特。不是多循環群被有限群的擴張的諾特群由亞歷山大·奧利尚斯基在一篇1979年論文中首次構造。^[2][3]