譜子流形

動力系統中，譜子流形（SSM）是唯一的最光滑不變流形，是線性動力系統的譜子空間添加非線性因素後的非線性推廣。^[2]SSM理論為線性動力系統特徵空間的不變性質推廣到非線性系統提供了條件，於是激發了SSM在非線性降維中的應用。

譜子流形${\displaystyle {\mathcal {W}}(E)}$從譜子空間E產生（emanate）出來的示意圖。既約坐標中的軌跡${\displaystyle p(t)}$通過流形參數化${\displaystyle W(p)}$，映射到相空間。^[1]

定義

考慮非線性常微分方程

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}$

常矩陣${\displaystyle \ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$，光滑函數中包含非線性項${\displaystyle f_{0}={\mathcal {O}}(|x|^{2})}$。

假設對A的所有特徵值${\displaystyle \lambda _{j},\ j=1,\ldots ,n}$都有${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}<0}$，即原點是漸進穩定的定點。現選擇m個特徵向量${\displaystyle v_{i}^{E}}$張成的空間${\displaystyle E={\text{span}}\,\{v_{1}^{E},\ldots v_{m}^{E}\}}$，則特徵空間E是線性化系統的不變子空間

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

在線性系統中加入非線性項${\displaystyle f_{0}}$，E通常會擾動成無窮多個不變流形。當中，唯一最平滑的流形就是譜子流形。

對${\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}>0}$，不穩定SSM的等價結果成立。

存在性

只要E的譜中的特徵值${\displaystyle \lambda _{i}^{E}}$滿足某些非共振條件，就能保證原點處存在與E相切的譜子流形。^[3]特別是，在譜子空間之外，不可能存在與A的某個特徵值相等的${\displaystyle \lambda _{i}^{E}}$的線性組合。若存在這種外部共振，就可將共振模式納入E，並將分析推廣到與廣義譜子空間有關的高維SSM。

非自治推廣

關於譜子流形的理論可推廣到非線性非自治系統，形式為

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x,\Omega t),\quad \Omega \in \mathbb {T} ^{k},\ 0\leq \epsilon \ll 1,}$

其中${\displaystyle f_{1}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}$是准周期強迫項。^[4]

意義

譜子流形對動力系統中嚴格的非線性降維非常有用。高維相空間還原為低維流形後，便可精確描述系統的主要漸進行為，從而大大簡化系統結構。^[5]對已知的動力系統，可通過解不變方程分析地計算SSM，並利用SSM上的簡化模型預測對強迫的響應。^[6]

此外，還可利用機器學習算法，直接從動力系統的軌跡數據中提取這些流形。^[7]

另見

• 不變流形
• 非線性降維
• 拉格朗日擬序結構