費馬曲線

數學上的費馬曲線是指由費馬方程:${\displaystyle X^{n}+Y^{n}=Z^{n}.\ }$所定義，在齊次坐標復射影平面上的代數曲線。

費馬立方曲線${\displaystyle X^{3}+Y^{3}=Z^{3}}$

在仿射平面上的方程為：

${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1.\ }$

費馬方程的整數解會對應仿射方程上的非零有理數解，但根據費馬大定理，在n > 2時，費馬方程沒有非平凡的整數解，因此費馬曲線沒有非平凡的有理中數點。

費馬曲線為非奇異的代數曲線，虧格為：

${\displaystyle (n-1)(n-2)/2.\ }$

在n = 2時，其虧格為0（圓錐曲線），只有在n = 3時，其虧格為1（橢圓曲線）。學者已對費馬曲線的雅可比簇（英語：Jacobian variety）進行深入的研究。它和有複乘（英語：complex multiplication）（complex multiplication）的簡單阿貝爾簇的乘積同源。

費馬曲線具有gonality（英語：gonality）:

${\displaystyle n-1.\ }$

費馬簇

多變數的費馬形方程可以將費馬簇定義為射影簇（英語：projective varieties）。

參考資料

• Baker, Matthew; Gonzalez-Jimenez, Enrique; Gonzalez, Josep; Poonen, Bjorn, Finiteness results for modular curves of genus at least 2, American Journal of Mathematics, 2005, 127 (6): 1325–1387, JSTOR 40068023, S2CID 8578601, arXiv:math/0211394 , doi:10.1353/ajm.2005.0037
• Gross, Benedict H.; Rohrlich, David E., Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve (PDF), Inventiones Mathematicae\, 1978, 44 (3): 201–224, S2CID 121819622, doi:10.1007/BF01403161, （原始內容 (PDF)存檔於2011-07-13）
• Klassen, Matthew J.; Debarre, Olivier, Points of Low Degree on Smooth Plane Curves, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1994, 1994 (446): 81–88, S2CID 7967465, arXiv:alg-geom/9210004 , doi:10.1515/crll.1994.446.81
• Tzermias, Pavlos, Low-Degree Points on Hurwitz-Klein Curves, Transactions of the American Mathematical Society, 2004, 356 (3): 939–951, JSTOR 1195002, doi:10.1090/S0002-9947-03-03454-8