質量加權坐標

质量加权坐标是描述分子内部运动的一套坐标体系

质量加权坐标的导出

假设一个分子或离子是由N个原子组成的，每一个原子都有自己的一个平衡位置坐标，当各个原子进行分子内部运动时就会偏离各自的平衡位置，则每个原子会产生相互正交的三个方向上的位移： ${\displaystyle \Delta X_{i}}$、${\displaystyle \Delta Y_{i}}$和${\displaystyle \Delta Z_{i}}$

那么由于这种分子内部运动所引起的动能为：

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{N}\left\{{\frac {1}{2}}m_{i}\left[\left({\frac {dX_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dY_{i}}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dZ_{i}}{dt}}\right)^{2}\right]\right\}}$

如果把质量和位移结合并用统一的符号表示三个正交的坐标：

${\displaystyle q_{i}=\left\{{\sqrt {m_{i}}}\Delta X_{i};{\sqrt {m_{i}}}\Delta Y_{i};{\sqrt {m_{i}}}\Delta Z_{i}\right\}}$

这个${\displaystyle q_{i}}$就是质量加权坐标。

质量加权坐标的应用

• 用来表示分子内部运动的动能

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {dq_{i}}{dt}}\right)^{2}}$

• 用来表示分子内部势能

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}f_{ij}q_{i}q_{j}}$

其中${\displaystyle f_{ij}}$称为力常数，表达式为：

${\displaystyle f_{ij}={\frac {\partial V}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}}$

参见

• 计算化学
• 分子力学
• 简正坐标