超現實數

在數學上，超現實數系統（英語：Surreal Numbers）是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係「≤」以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域^{[註 1]}。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函數域、列維-奇維塔域（英語：Levi-Civita field）、上超實數域（英語：Superreal number）和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論裡構造過的所有超限序數。

超現實數樹的可視化。

關於與「超現實數」標題相近或相同的條目，請見「超實數」。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

超現實數是由約翰·何頓·康威所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納在他的書《研究之美》^{[註 2][1][2]}中就被引進了。《研究之美》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作裡，高德納造了「surreal number」一詞，用來指稱康威起初只叫做「number」（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（On Numbers and Games）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。

概述

康威^[3]使用遞歸構造了超現實數，其中每個數都是兩個數集構成的序對，記為 ${\displaystyle \{L|R\}}$。這兩個集合要求 ${\displaystyle L}$ 里的每個元素都嚴格小於每個 ${\displaystyle R}$ 里的元素。不同的序對可能表達同樣的數字：${\displaystyle \{1|3\}=\left\{{\frac {3}{2}}|{\frac {5}{2}}\right\}=2}$。

整數及二進分數

讓我們先來看幾個簡單的例子。

${\displaystyle \{|\}=0}$

${\displaystyle \{0|\}=1}$

${\displaystyle \{1|\}=2}$

${\displaystyle \{|0\}=-1}$

${\displaystyle \{|-1\}=-2}$

因此整數都是超現實數。（以上幾行是定義而非等式。）

${\displaystyle \{0|1\}={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \left\{0|{\frac {1}{2}}\right\}={\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2}}|1\right\}={\frac {3}{4}}}$

至此我們可以通過超現實數定義二進分數（分母為2的冪次的分數）。

其他實數

為了定義更多的實數，我們可以將使用無限的左右集合：${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$，${\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},\ldots |4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},\ldots \}}$，事實上可以同樣地使用二進制展開的方法定義出所有實數。

無窮數

根據歸納法，我們可以構造出 ${\displaystyle \omega =\{0,1,2,3\ldots |\}}$，${\displaystyle \omega -1=\{0,1,2,3\ldots |\omega \}}$ 等無窮大的數，${\displaystyle {\frac {1}{\omega }}=\{0|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}}\ldots \}}$ 等無窮小數。以上超現實數皆不屬於實數。

更多的數

我們定義 ${\displaystyle P_{0}={0}}$。

若 ${\displaystyle x=\{L|R\},\ L,R\subset P_{i}}$ 且 ${\displaystyle x\not \in P_{i}}$，那麼 ${\displaystyle x\in P_{i+1}}$，這在直觀上等價於「${\displaystyle x}$是在第${\displaystyle i}$天中出生的」。

那麼我們可以觀察發現：

• ${\displaystyle 1,-1\in P_{1}}$
• ${\displaystyle 2,-2,{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\in P_{2}}$
• ${\displaystyle \pi ,\omega ,{\frac {1}{3}}\in P_{\omega }}$
• ${\displaystyle \omega -1,\omega +1\in P_{\omega +1}}$
• ${\displaystyle \omega +\pi \in P_{2\omega }}$，其中${\displaystyle 2\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega +1,\omega +2,\ldots |\}}$
• ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {Ord} :i\in P_{i}}$

我們將超現實數集合稱作 ${\displaystyle \mathbb {No} }$。

序關係

給定 ${\displaystyle x=\{X_{L}|X_{R}\},\ y=\{Y_{L}|Y_{R}\}}$，我們（遞歸地）定義 ${\displaystyle x\leq y}$ 當且僅當以下兩命題同時成立：

• 沒有一個 ${\displaystyle x_{L}\in X_{L}}$ 符合 ${\displaystyle y\leq x_{L}}$，
• 沒有一個 ${\displaystyle y_{R}\in Y_{R}}$ 符合 ${\displaystyle y_{R}\leq x}$。

那麼可以自然地定義 ${\displaystyle x<y,x>y,x=y,x\geq y}$。可以證明，這樣的二元關係是一個全序關係。

我們分別將 ${\displaystyle x<0,x>0,x\leq 0,x\geq 0}$ 稱為 ${\displaystyle x}$ 負、 ${\displaystyle x}$ 正、 ${\displaystyle x}$ 非正、 ${\displaystyle x}$ 非負。

我們定義 ${\displaystyle x\|y}$ 表示 ${\displaystyle x\leq y}$ 與 ${\displaystyle y\leq x}$ 同時不成立。事實上這樣的二元關係在超現實數中不可能存在，但是這個關係會在之後的博弈章節出現。

運算

加法

我們定義超現實數之間的加法為 ${\displaystyle x+y=\left\{X_{L}+y\cup x+Y_{L}|X_{R}+y\cup x+Y_{R}\right\}}$，其中 ${\displaystyle X+y=\left\{x+y|x\in X\right\},x+Y=\left\{x+y|y\in Y\right\}}$。

加法逆元

我們定義負號（加法逆元）為 ${\displaystyle -x=\left\{-X_{R}|-X_{L}\right\}}$，其中 ${\displaystyle -X=\left\{-x|x\in X\right\}}$。

可以驗證這兩個運算構成了（真類上的）阿貝爾群。

乘法

我們定義乘法運算為${\textstyle xy=\left\{(X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L})\cup (X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R})|(X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R})\cup (X_{R}y+xY_{L}-X_{R}Y_{L})\right\}}$，其中 ${\displaystyle XY=\{xy|x\in X,y\in Y\},\ xY=\{x\}Y,\ Xy=X\{y\}}$。

乘法逆元

我們定義（正數的）乘法逆元為${\textstyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{R}}},{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y^{L}-y)({\frac {1}{y}})^{L}}{y^{L}}},{\frac {1+(y^{R}-y)({\frac {1}{y}})^{R}}{y^{R}}}{\Bigg \}}}$，這樣除法就是 ${\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\left({\frac {1}{y}}\right)}$。我們可以發現這個定義是遞歸的，但是實際上這個數字是良定義的：我們取${\textstyle y=3=\{2|\}}$ 那麼 ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ 會有一個 ${\textstyle 0}$ 作為左項，導致了${\textstyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}=1/2}$ 會是一個右項。這又意味着 ${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$ 作為左項、${\textstyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$ 作為右項，以此類推，所以我們有${\textstyle {\frac {1}{3}}=\{0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots |{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \}}$ （考慮兩邊的序列在實數中分別收斂到 ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$，因此是相容的）。

對於負數，我們定義 ${\displaystyle {\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{-x}}\quad (x<0)}$。

子集對應

有理數、實數、序數分別是超現實數的子集。

有理數

所有二進分數都可以定義為超現實數，而所有分數都可以表示為兩個整數之比，因此所有有理數都可以表示為超現實數。

實數

在定義出了有理數之後，使用戴德金分割可以立刻將實數映射到超現實數中。

假設${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,x=A|A'}$，其中 ${\displaystyle A,A'\subset \mathbb {Q} }$，那麼立刻可知存在 ${\displaystyle X\in \mathbb {No} ,X=\left\{f(A)|f(B)\right\}}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的一個超現實數表示，其中 ${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {No} }$ 是有理數到超現實數的域同態。

序數

我們將所有序數定義為小於它的序數構成的集合^[4]。所有序數的全體記為${\displaystyle \mathbb {Ord} }$，那麼我們有：

• ${\displaystyle f:\mathbb {Ord} \to \mathbb {No} ,\ f(X)=\left\{f(x),x\in X|\right\}}$

這樣的同態可以保持序關係的結構，但是並不能保證算術的一一對應，比如 ${\displaystyle \omega -1}$ 這一式子的值在序數中的結果是 ${\displaystyle \omega }$，而在超現實數中則是 ${\displaystyle \{0,1,2,\ldots |\omega \}}$.

博弈

如果去除超現實數定義中對所有 ${\displaystyle L<R}$ 的約定，那麼這樣（遞歸）定義出來的真類被稱做遊戲^[5]。對其仍然可以（一模一樣的）定義加法、加法逆元以及比較。

顯然，所有的超現實數都是遊戲，但並非所有遊戲都是超現實數，例如 ${\displaystyle \star =\{0|0\}}$ 就不是，其滿足 ${\displaystyle \star \|0}$。

可以發現，所有的遊戲都體現了一個兩人輪流、確定、公開的博弈遊戲，其中左集合表示第一位玩家（下稱左玩家）可以走到的局面，右集合則表示第二位玩家（下稱右玩家）的選擇，不能操作者負。

兩個遊戲的和的意義就是同時進行兩個遊戲，而每個玩家選擇其中一個進行操作，不能操作者負。

我們可以發現，這個遊戲的勝負取決於 ${\displaystyle G}$ 和 ${\displaystyle 0}$ 的相對關係。

• 若 ${\displaystyle G=0}$，則後手必勝。
• 若 ${\displaystyle G>0}$，則左玩家必勝。
• 若 ${\displaystyle G<0}$，則右玩家必勝。
• 若 ${\displaystyle G\|0}$，則先手必勝（英語：fuzzy game）。

有以下這些特殊的遊戲^[6]：

• ${\displaystyle \star =\{0|0\}}$
• ${\displaystyle \uparrow =\{0|\star \},\ \downarrow =\{\star |0\}}$
• ${\displaystyle \pm 1=\{1|-1\}}$

可以發現，關於他們有這麼幾個性質：

• ${\displaystyle \star \|0}$
• ${\displaystyle \forall i:-1\leq i\leq 1\implies \pm 1\|i}$
• ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {No} ,x>0:-x<\downarrow <0<\uparrow <x}$ （比所有超現實數更接近0）
• ${\displaystyle \star +\star =\uparrow +\downarrow =0}$
• ${\displaystyle (\uparrow +\star )\|0,\ \uparrow +\uparrow +\star >0}$

可以用於分析複雜的遊戲。

暫譯術語

• 超現實數（Surreal）
• 無窮量（Infinitesimal）
• 格羅滕迪克宇集