連續函數演算

在數學中，特別是在算子理論和C*-代數理論中，連續函數演算是一種允許將連續函數作用於C*-代數中的正規元的函數演算。

在進階的理論中，這種函數演算的應用非常自然，以至於往往它甚至不會被提及。毫不誇張地說，連續函數演算將C*-代數與更一般的巴拿赫代數區分了開來，對於後者只能定義全純函數演算。

動機

對於巴拿赫代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的成員 ${\displaystyle a}$ ，若要將其譜 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上的多項式函數演算推廣到譜上的連續函數，似乎有一個明顯的思路：依照魏爾施特拉斯逼近定理用多項式來逼近連續函數，然後將多項式中的數換成 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中成員 ${\displaystyle a}$ ，再證明這些 ${\displaystyle a}$ 的多項式序列收斂為 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中元素。

譜集 ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }$ 上的連續函數由 ${\displaystyle z}$ 和 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 的形如 ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ 的多項式來逼近，其中 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 表示 ${\displaystyle z}$ 的復共軛，而復共軛是複數上的一個對合。在將 ${\displaystyle z}$ 替換為 ${\displaystyle a}$ 時，為使 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 也有對應，須考慮 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 為巴拿赫*-代數，即配備了一個對合運算 ${\displaystyle *}$ 的巴拿赫代數，這時 ${\displaystyle {\overline {z}}}$ 就被替換為 ${\displaystyle a^{*}}$ 。由於多項式環 ${\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}$ 是交換環，為得到一個 ${\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 的代數同態，須限制在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的正規元（即滿足 ${\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}$ 的成員）上。

須保證：若多項式序列 ${\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}$ 在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上一致收斂於一連續函數 ${\displaystyle f}$ ，則 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 上的序列 ${\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}$ 收斂於 ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}}$ 。對這個收斂性的問題進行細緻分析之後，就會發現有必要採用C*-代數。這些考量最終將導向所謂的連續函數演算。

定義

連續函數演算 — 設有單位元 ${\displaystyle e}$ 的C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中有一正規元 ${\displaystyle a}$ ，而 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 是 ${\displaystyle a}$ 譜集 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上的連續函數所構成的交換C*-代數。於是存在唯一一個*-同態 ${\displaystyle \Phi _{a}\colon {\mathcal {C}}(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}}$ 滿足 ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e}$ 和 ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a}$ ，其中常值函數 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$ 滿足 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}(z)=1}$ ， ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ 是恆等映射。^[1]

該*-同態 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 稱為正規元 ${\displaystyle a}$ 的連續函數演算，通常也記作 ${\displaystyle f(a):=\Phi _{a}(f)}$。 ^[2]

由於*-同態性質，有以下對任意函數 ${\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 與標量 ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$ 有效的計算規則： ^[3]

${\displaystyle (\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad }$	（線性）
${\displaystyle (f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)}$	（乘法）
${\displaystyle {\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{*})(a)=(f(a))^{*}}$	（對合）

因此，可以同尋常連續函數那樣看待連續函數在正規元上的推廣，它的上述代數運算性質同尋常的連續複函數情況沒有區別。

對於單位元的要求並不是一個強的限制。如果需要，可以添加一個單位元（英語：Rng (algebra)#Adjoining an identity element (Dorroh extension)），得到一個擴大了的C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}$ 。對於 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ 和滿足 ${\displaystyle f(0)=0}$ 的 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ，有 ${\displaystyle 0\in \sigma (a)}$ 和 ${\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$ 。^[4]

下面給出連續函數演算的存在性和唯一性的證明概要：

連續函數演算的存在性的證明

設 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 是 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle e}$ 所生成的C*-子代數， ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 中的譜和在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中時是一樣的，於是證明了 ${\displaystyle {\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)}$ 。^[5] 實際的構造幾乎直接可從蓋爾范德表示（英語：Gelfand representation）中得出：只需設 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是某個緊空間 ${\displaystyle X}$ 上的連續函數所構成的C*-代數並定義 ${\displaystyle \Phi _{a}(f)=f\circ x}$ 。^[6]

連續函數演算的唯一性的證明

考慮到 ${\displaystyle \Phi _{a}({\boldsymbol {1}})}$ 和 ${\displaystyle \Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})}$ 已被固定，由於要求 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 為*-同態，它對於所有的多項式 ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ 來說已經唯一定義。根據魏爾施特拉斯逼近定理，它們構成了 ${\displaystyle {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 的一個稠密子代數。因此 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 是唯一的。^[6]

在泛函分析中，常對正規算子 ${\displaystyle T}$ 的連續函數演算感興趣，即 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是希爾伯特空間 ${\displaystyle H}$ 上的有界算子所構成的C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ 的情況。在文獻中，通常僅對此情況的自伴算子的連續函數演算作了證明。在這種情況下，證明不需要用到蓋爾范德表示。 ^[7]

性質

到子代數的等距同構

連續函數演算 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 是到 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle e}$ 所生成的C*-子代數 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 的等距同構，即：^[6]

• $${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.}$$於是 ${\displaystyle \Phi _{a}}$顯然是連續的。
• $${\displaystyle \Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},}$$ 也就是說 ${\displaystyle C^{*}(a,e)}$ 是連續函數演算的值域。

由於 ${\displaystyle a}$ 是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的正規元，由 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle e}$ 生成的C*-子代數是一個交換代數。特別地， ${\displaystyle f(a)}$ 也是一個正規元，且函數演算的所有成員間都對易。^[3]

與其他函數演算的關係

全純函數演算可無歧義地擴張為連續函數演算。^[8]因此，連續函數演算在多項式 ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})}$ 上重合於多項式函數演算^[2]： $${\displaystyle \forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},}$$ 其中 ${\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}$ 。

對於 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上一致收斂於函數 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 的函數序列 ${\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ ， ${\displaystyle f_{n}(a)}$ 收斂於 ${\displaystyle f(a)}$ 。^[9]對於 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上絕對且一致地收斂的冪級數 ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ，就有 ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$ 。^[10]

反函數的連續函數演算

若有 ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 和 ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}$ ，那麼它們的函數演算的複合滿足 ${\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}$ 。^[4]

設有兩個正規元 ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}$ 滿足 ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ，且無論限制在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 還是 ${\displaystyle \sigma (b)}$ 上時 ${\displaystyle g}$ 都是 ${\displaystyle f}$ 的反函數，那麼必然有 ${\displaystyle a=b}$ ，因為 ${\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}$ 。^[11]

譜映射定理

譜映射定理 $${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}$$ 也成立^[6]。

對於 ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ ，若有 ${\displaystyle ab=ba}$ ，那麼也有 $${\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).}$$ 也就是說若 ${\displaystyle b}$ 與 ${\displaystyle a}$ 對易，則它也與 ${\displaystyle a}$ 的在連續函數下的像 ${\displaystyle f(a)}$ 對易。^[12]

與*-同態相容

設 ${\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ 是C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 間的保單位元的*-同態，那麼 ${\displaystyle \Psi }$ 與連續函數演算間的複合是對易的。也就是說： $${\displaystyle \forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).}$$ 特別地，連續函數演算與蓋爾范德表示是對易的。^[3]

函數性質與像的性質間的關係

利用譜映射定理，具有某些性質的函數可以直接關聯到C*-代數成員的某些性質^[13]：

• ${\displaystyle f(a)}$ 是可逆元當且僅當 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上沒有零點。^[14]於是有 ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$ 。^[15]

• ${\displaystyle f(a)}$ 是自伴元當且僅當 ${\displaystyle f}$ 是實值函數，也就是${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$說 ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }$.
• ${\displaystyle f(a)}$ 是正元（ ${\displaystyle f(a)\geq 0}$ ）當且僅當 ${\displaystyle f\geq 0}$ ，也就是說 ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}$.
• ${\displaystyle f(a)}$ 是幺正元，若 ${\displaystyle f}$ 的值落在復單位圓中。也就是說， ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}$
• ${\displaystyle f(a)}$ 是一個投影，若 ${\displaystyle f}$ 僅取值 ${\displaystyle 0}$ 或 ${\displaystyle 1}$ ，也就是說 ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}$.

這些斷言的基礎是關於特定元素的譜的結論，這些結論會在§ 應用一節中展示。

有界算子代數的譜

在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是希爾伯特空間 ${\displaystyle H}$ 上的有界算子所構C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}$ 的特殊情況下，正規算子 ${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}$ 的對應特徵值 ${\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}$ 的特徵向量 ${\displaystyle v\in H}$ 也將是算子 ${\displaystyle f(T)}$ 關於特徵值 ${\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}$ 的特徵向量。設 ${\displaystyle Tv=\lambda v}$ ， 則 ${\displaystyle \forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v}$ 。^[16]

應用

下面給出連續函數演算的眾多應用中一些典型且非常簡單的例子。

譜

設 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是一個C*-代數而 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ 為其中一個正規元，則對於譜 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 有以下結論^[13]：

• ${\displaystyle a}$ 是自伴元當且僅當 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .}$
• ${\displaystyle a}$ 是幺正元當且僅當 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}$
• ${\displaystyle a}$ 是一個投影當且僅當 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$.

證明^[2]

正規元 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ 的連續函數演算 ${\displaystyle \Phi _{a}}$ 是一個保單位元的*-同態，因此若 ${\displaystyle \operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}$ 是自伴的/幺正的/投影，則 ${\displaystyle a}$ 也相應地成為自伴元/幺正元/投影。

1. ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ 自伴的充要條件是 $${\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},}$$ 即 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 是實的。
2. ${\displaystyle {\text{Id}}}$ 幺正的充要條件是 $${\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},}$$ 即 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}$ 。
3. ${\displaystyle {\text{Id}}}$ 成為投影的充要條件是 $${\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}}$$ 即 $${\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},}$$ 或者說 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$ 。

開方

設 ${\displaystyle a}$ 是 C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的正元，那麼對於每一個 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 存在一個唯一確定的正元 ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ 滿足 ${\displaystyle b^{n}=a}$ ，即唯一的 ${\displaystyle n}$ 次方根。^[17]

證明

對於每個 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，開方函數 $${\displaystyle f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$$ 是 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}}$ 上的連續函數。若通過連續函數演算來定義 ${\displaystyle b\;\colon =f_{n}(a)}$ ，那麼根據連續函數演算的性質有 $${\displaystyle b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a.}$$

根據譜映射定理可知 $${\displaystyle \sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty ),}$$ 也就是說 ${\displaystyle b}$ 是正元。^[17]

設有另一正元 ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$ 滿足 ${\displaystyle c^{n}=a=b^{n}}$ ，則有 ${\displaystyle c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b}$ ，因為正實數上的開方函數是函數 ${\displaystyle z\mapsto z^{n}}$ 的反函數。^[11]

若 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ 是自伴元，則至少有：對於每個奇數 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ，存在唯一確定的自伴元 ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ 滿足 ${\displaystyle b^{n}=a}$ 。^[18]

類似地，對於C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中正元 ${\displaystyle a}$ 和任意 ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ ， ${\displaystyle a^{\alpha }}$ 唯一定義了一個 ${\displaystyle C^{*}(a)}$ 中的正元，並滿足 $${\displaystyle \forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.}$$ 若 ${\displaystyle a}$ 是可逆元，則還可以推廣到取負值的 ${\displaystyle \alpha }$ 。^[17]

絕對值

若 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ 且 ${\displaystyle a^{*}a}$ 是正元，那麼絕對值可由連續函數演算定義為 ${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}$ ，因為它在正實數上連續。^[19]

設 ${\displaystyle a}$ 是C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的自伴元，則存在正元 ${\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ，使得 ${\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}$ 和 ${\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}$ 成立。 ${\displaystyle a_{+}}$ 和 ${\displaystyle a_{-}}$ 也被稱為正部和負部。^[20]此外還有 ${\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}$ 。^[21]

證明

函數 ${\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}$ 和 ${\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}$ 是 ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }$ 上的連續函數且滿足

• ${\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),}$
• ${\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.}$

設 ${\displaystyle a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)}$ ，由譜映射定理可知 ${\displaystyle a_{+}}$ 和 ${\displaystyle a_{-}}$ 是正元，且有^[20]：

• ${\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},}$
• ${\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.}$

此外^[21]， $${\displaystyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},}$$ 故 $${\displaystyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.}$$

幺正元

若 ${\displaystyle a}$ 是有單位元 ${\displaystyle e}$ 的C*-代數 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 中的自伴元，那麼 ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ 是幺正元，其中 ${\displaystyle \mathrm {i} }$ 表示虛數單位。反過來，若 ${\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}$ 是一個幺正元且其譜是復單位圓的真子集（即 ${\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }$ ），那麼存在一個自伴元 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ 滿足 ${\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}$ 。^[22]

證明^[22]

定義函數 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ ，由於 ${\displaystyle a}$ 的自伴性使得 ${\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {R} }$ ，那麼 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 的譜上有定義。取 ${\displaystyle u=f(a)}$ ，由於 ${\displaystyle f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1}$ ，根據函數演算性質可知 ${\displaystyle uu^{*}=u^{*}u=e}$ ，也就是說 ${\displaystyle u}$ 是幺正元。

對於第二個命題，現在將 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}}$ 限制到區間 ${\displaystyle [z_{0},z_{0}+2\pi )}$ 上（其中 ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {R} }$ ），從而可以定義其反函數 ${\displaystyle g:\mathbb {T} \to [z_{0},z_{0}+2\pi ):\ g(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})=x}$ ，且 ${\displaystyle g}$ 在譜集 ${\displaystyle \sigma (u)}$ 上有定義，且是其上的實值連續函數。那麼它的連續函數函數演算就會將 ${\displaystyle u}$ 映為自伴元 ${\displaystyle a=g(u)}$ 。

譜分解定理

設 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 是一個有單位元的C*-代數，其中有一個正規元 ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ 。假設譜由 ${\displaystyle n}$ 個兩兩不相交的閉子集 ${\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)}$ 構成，也就是說 ${\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}$ 。那麼就存在投影 ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}$ ，使得下面的命題對任意 ${\displaystyle j\geq 1,k\leq n}$ 都成立：^[23]

1. 投影的譜滿足 ${\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}.}$
2. 投影與 ${\displaystyle a}$ 對易，即 ${\displaystyle p_{k}a=ap_{k}.}$
3. 投影是正交的，即 ${\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.}$
4. 投影之和為單位元，即 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.}$

特別是，有分解 ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ，其中 ${\displaystyle \forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.}$

證明^[23]

由於 ${\displaystyle \sigma _{k}}$ 是閉的，故其指示函數 ${\displaystyle \chi _{\sigma _{k}}}$ 在 ${\displaystyle \sigma (a)}$ 上連續，可以定義其連續函數演算。

令 ${\displaystyle p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)}$ 。 由於 ${\displaystyle \sigma _{k}}$ 兩兩不交，有

• ${\displaystyle \chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}},}$
• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}},}$

從而由指示函數的連續函數演算所得的 ${\displaystyle p_{k}}$ 滿足性質3、4。

性質2則可由 $${\displaystyle a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)}$$ 證明。