逆半群

群論中，逆半群 ${\displaystyle S}$ 為一類半群，其任意元 ${\displaystyle x\in S}$ 均具唯一逆 ${\displaystyle y\in S}$ 使得 ${\displaystyle x=xyx}$ 且 ${\displaystyle y=yxy}$, 即任意元均具唯一逆的正規半群。逆半群出現在不少領域，如用於研究部分對稱群。^[1]

（本文遵循半群理論研究中的慣例，書函數名於參數右側，函數複合亦從左至右，如 ${\displaystyle x\ f}$ 而非 ${\displaystyle f(x)}$.）

起源

逆半群分別由 Виктор Владимирович Вагнер​（英語）在蘇聯於 1952 年^[2]、Gordon Preston​（英語）在英國於 1954 年獨立引入。^[3]兩位作者均通過研究集合上的偏雙射^{[注 1]}得到逆半群：集合 ${\displaystyle X}$ 的偏變換 ${\displaystyle \alpha }$ 為從 ${\displaystyle A}$ 到 ${\displaystyle B}$ 的函數，其中 ${\displaystyle A,\,B\subseteq X}$. 令 ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ 為集合 ${\displaystyle X}$ 的偏變換，其能夠（從左到右）在「有意義」組成它們的最大定義域上組成：

${\displaystyle \operatorname {dom} \alpha \beta =\left[\operatorname {im} \alpha \cap \operatorname {dom} \beta \right]\alpha ^{-1}}$,

其中 ${\displaystyle \alpha ^{-1}}$ 表示 ${\displaystyle \alpha }$ 的原像。偏變換在偽群​（英語）的背景下已有研究。首先是 Вагнер 注意到偏變換的複合是二元關係複合的特例，還認識到兩個偏變換的複合，其定義域可能為空，因而引入空變換以考慮之。伴隨空變換引入，集合偏變換的複合是處處定義的二元結合關係。^[4]依此複合，集合 ${\displaystyle X}$ 上全部偏一一變換的總體 ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{X}}$ 即構成一逆半群，稱 ${\displaystyle X}$ 上的對稱逆半群或幺半群，其中逆定義作從像到定義域的函數逆。這就是「原型」逆半群了，同樣地可以說對稱群是「原型」群。舉例，所有群均可嵌入對稱群，所有逆半群均可嵌入對稱逆半群（見下文的逆半群的同態與表示章節）。

基本敘述

逆半群 ${\displaystyle S}$ 中的元 ${\displaystyle x}$, 其逆常寫作 ${\displaystyle x^{-1}}$. 逆半群中的逆，不少性質同乎群中的逆，例如 ${\displaystyle (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}}$. 在逆幺半群^{[注 2]}中，${\displaystyle xx^{-1}}$ 和 ${\displaystyle x^{-1}x}$ 均冪等。^[5]滿足 ${\displaystyle \forall x\in S,\,xx^{-1}=e=x^{-1}x}$ 的逆幺半群 ${\displaystyle S}$ （一個「冪幺逆幺半群」）當然是群。

逆半群 ${\displaystyle S}$ 有如下等價特徵：^[6]

• 任意元均具唯一逆當 ${\displaystyle S}$ 具幺。
• 任意元均具至少一個逆（${\displaystyle S}$ 為正規半群）且冪等元交換（即 ${\displaystyle S}$ 的冪等元構成半格）。
• 任意 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-類與 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-類均具恰好一個冪等元，其中 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是 Green 關係​（英語）其二。

${\displaystyle s}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-類中的冪等元為 ${\displaystyle s^{-1}s}$, 而 ${\displaystyle s}$ 的 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-類中的冪等元為 ${\displaystyle ss^{-1}}$.

因而在逆半群中的 Green 關係又一個簡單特徵：^[7]

${\displaystyle a{\mathcal {L}}b\Longleftrightarrow a^{-1}a=b^{-1}b,\quad a{\mathcal {R}}b\Longleftrightarrow aa^{-1}=bb^{-1}}$.

除非另行說明，將以 ${\displaystyle E(S)}$ 指代逆半群 ${\displaystyle S}$ 冪等元構成的半格。

逆半群的例子

• 集合 ${\displaystyle X}$ 上的偏雙射構成映射複合運算下的逆半群。
• 群均為逆半群。
• 雙循環半群​（英語）逆，有 (a, b)⁻¹ = (b, a).
• 半格均為逆半群。
• Brandt 半群​（英語）逆。
• Munn 半群​（英語）逆。

以乘法表示例，逆半群可結合，且任意元均由 aba = a, bab = b 具其逆，但無幺且非交換。

逆半群

	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle e}$
${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle b}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle c}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$
${\displaystyle d}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$
${\displaystyle e}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle e}$

自然偏序

逆半群 ${\displaystyle S}$ 總具自然偏序 ${\displaystyle \leq }$（有時寫作 ${\displaystyle \omega }$），滿足：^[8]

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=eb,}$

對 ${\displaystyle S}$ 中的冪等元 ${\displaystyle e\in S}$. 此外有等價表述

${\displaystyle a\leq b\Longleftrightarrow a=bf,}$

對一些（一般不同的）冪等元 ${\displaystyle f\in S}$. 實際上 ${\displaystyle e}$ 可視作 ${\displaystyle aa^{-1}}$, ${\displaystyle f}$ 可視作 ${\displaystyle a^{-1}a}$.^[9]

自然偏序同時兼容乘法與逆運算，即：

${\displaystyle a\leq b,\,c\leq d\implies ac\leq bd,}$

且

${\displaystyle a\leq b\implies a^{-1}\leq b^{-1}.}$

群中的逆序則簡單地退化為等價關係，因為幺元正是其唯一冪等元。在交換逆半群中，逆序退化為限制映射，即 ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ 當且僅當 ${\displaystyle \alpha }$ 的定義域含於 ${\displaystyle \beta }$ 的定義域，且 ${\displaystyle \forall x\in D_{\alpha },\,x\alpha =x\beta }$.

對 ${\displaystyle E(S)}$ 來說^{[注 3]}，自然偏序變成了：

${\displaystyle e\leq f\Longleftrightarrow e=ef,}$

故而由於冪等元構成乘積運算下的半格，${\displaystyle E(S)}$ 的乘積給出了關係 ${\displaystyle \leq }$ 的最小上界。

若 ${\displaystyle E(S)}$ 有限且構成鏈（即 ${\displaystyle E(S)}$ 按 ${\displaystyle \leq }$ 構成全序），則 ${\displaystyle S}$ 為群的並。^[10]若 ${\displaystyle E(S)}$ 為無窮鏈，亦可能據 ${\displaystyle S}$ 和 ${\displaystyle E(S)}$ 的假設獲得類似結果。^[11]

逆半群的同態與表示

逆半群的同態（或態射）以與對其他半群那樣完全相同的方式定義：對逆半群 ${\displaystyle S,\,T}$, 函數 ${\displaystyle \vartheta \colon \,S\to T}$ 是同態，當且僅當 ${\displaystyle \forall s,\,t\in S,\,(s\vartheta )(t\vartheta )=(st)\vartheta }$. 可用控制條件 ${\displaystyle (s\vartheta )^{-1}=s^{-1}\vartheta }$ 加強上述定義以闡明逆半群的態射，但並不必要，因為這一性質可由上面的定義導出，有定理：

定理 — 逆半群的同態像仍是逆半群，元的逆總通過映到其像的逆。^[12]

關於逆半群，最早的結果之一由 Wagner-Prestion 定理證明，這是群論中 Cayley 定理的類推：

Wagner-Preston 定理 — 設 ${\displaystyle S}$ 為逆半群，則由

${\displaystyle \operatorname {dom} (a\varphi )=Sa^{-1}\ {\text{and}}\ x(a\varphi )=xa}$

給出的函數 ${\displaystyle \varphi \colon \,S\to {\mathcal {I}}_{S}}$ 為 ${\displaystyle S}$ 的忠實表示。^[13]

因此，任意逆半群可嵌入交換逆半群，而偏雙射的像對取逆封閉。反過來說，任意交換逆半群的子半群是逆半群，若對逆運算封閉。故而半群 ${\displaystyle S}$ 同構於交換逆半群對逆運算封閉的子半群當且僅當 ${\displaystyle S}$ 是逆半群。

逆半群的同餘

逆半群的同餘實際與其他半群的如出一轍：同餘 ${\displaystyle \varrho }$ 為兼容半群乘法的等價關係：

${\displaystyle a\ \varrho \ b,\,c\ \varrho \ d\implies ac\ \varrho \ bd}$.^[14]

特別值得關注的是定義在逆半群 ${\displaystyle S}$ 上的關係 ${\displaystyle \varsigma }$:

${\displaystyle a\ \varsigma \ b\implies \exists c\in S,c\leq a,\,b}$.^[15]

可以證明 ${\displaystyle \varsigma }$ 為同餘，而且實際上是群同餘，這意味着因子半群 ${\displaystyle S/\varsigma }$ 是群。半群 ${\displaystyle S}$ 上的所有群同餘構成的集合中的極小元（就由集合包含給出的偏序而言）不一定是最小元。特別當 ${\displaystyle S}$ 為逆半群時，${\displaystyle \varsigma }$ 是使得 ${\displaystyle S/\varsigma }$ 是群的 ${\displaystyle S}$ 上的最小同餘，換言之，給定群同餘 ${\displaystyle \tau \neq \varsigma }$, ${\displaystyle \varsigma }$ 必包含於 ${\displaystyle \tau }$. 稱同餘 ${\displaystyle \varsigma }$ 為 ${\displaystyle S}$ 上的極小群同餘。^[16]極小群同餘可用於給出 ${\displaystyle E}$-純逆半群的一個表徵（見下文）。

逆半群 ${\displaystyle S}$ 的同餘 ${\displaystyle \varrho }$ 稱冪等純若

${\displaystyle a\in S,\,e\in E(S),\,a\ \varrho \ e\implies a\in E(S).}$^[17]

E {\displaystyle E} -純逆半群[注 4]

一類常年廣受關注的逆半群是 ${\displaystyle E}$-純逆半群：稱逆半群 ${\displaystyle S}$（有冪等元半格 ${\displaystyle E}$） ${\displaystyle E}$-純當且僅當 ${\displaystyle \forall e\in E,\,\forall s\in S,}$

${\displaystyle es\in E\implies s\in E.}$

條件等價於

${\displaystyle se\in E\implies s\in E.}$^[6]

以下是 ${\displaystyle E}$-純逆半群 ${\displaystyle S}$ 更深刻的一個表徵：${\displaystyle \forall s\in S,\,\forall e\in E\left(e\leq s\implies s\in E\right)}$.

定理 — 令 ${\displaystyle S}$ 為逆半群，有冪等元半格 ${\displaystyle E}$ 及極小群同餘 ${\displaystyle \varsigma }$，則下列敘述等價：

1. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle E}$-純；
2. ${\displaystyle \varsigma }$ 冪等純；
3. ${\displaystyle \sim =\varsigma }$,

其中 ${\displaystyle \sim }$ 為 ${\displaystyle S}$ 上的***相容關係***，定義為：

${\displaystyle a\sim b\Longleftrightarrow ab^{-1},\,a^{-1}b}$ 冪等。

McAlister 覆蓋定理 — 每個逆半群 ${\displaystyle S}$ 均具一個 ${\displaystyle E}$-純覆蓋，即存在冪等的從 ${\displaystyle E}$-純半群 ${\displaystyle T}$ 到 ${\displaystyle S}$ 的分離滿同態。

${\displaystyle E}$-純逆半群研究的核心為下述構造。

令 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 為序關係 ${\displaystyle \leq }$ 的偏序集，令子集 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {X}}}$ 具性質：

1. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 為下半格，即 ${\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {Y}},}$ 存在（對於 ${\displaystyle \leq }$ 來說的）下確界 ${\displaystyle A\land B\in {\mathcal {Y}}}$；
2. ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 的序理想，即 ${\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {X}},(A\in {\mathcal {Y}},\,B\leq A)\implies (B\in {\mathcal {Y}})}$.

現令 ${\displaystyle G}$ 為左作用於 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 上的群，有

• ${\displaystyle \forall g\in G,\,\forall A,\,B\in {\mathcal {X}},\,gA=gB\iff A=B;}$
• ${\displaystyle \forall g\in G,\,\forall B\in {\mathcal {X}},\,\exists A\in {\mathcal {X}}(gA=B);}$
• ${\displaystyle \forall A,\,B\in {\mathcal {X}},\,A\leq B\iff gA\leq gB;}$
• ${\displaystyle \forall g,\,h\in G,\,\forall A\in {\mathcal {X}},\,g(hA)=(gh)A.}$

三元組 ${\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 亦假設擁有如下性質：

• ${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {X}},\,\exists g\in G,\exists A\in {\mathcal {Y}}(gA=X);}$
• ${\displaystyle \forall g\in G,\,g{\mathcal {Y}}\cap {\mathcal {Y}}\neq \varnothing .}$

如此的 ${\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 稱 McAlister 三元組。McAlister 三元組用於定義如下:

${\displaystyle P(G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})=\left\{(A,\,g)\in {\mathcal {Y}}\times G\colon \,g^{-1}A\in {\mathcal {Y}}\right\}}$

通過乘法規則

${\displaystyle (A,\,g)(B,\,h)=(A\land gB,\,gh).}$

此時 ${\displaystyle P(G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 構成該乘法規則下的逆半群，有 ${\displaystyle (A,\,g)^{-1}=(g^{-1}A,\,g^{-1})}$. ${\displaystyle E}$-純逆半群研究的主要結果之一是 McAlister ${\displaystyle P}$-定理：

McAlister ${\displaystyle P}$ 定理 — 令 ${\displaystyle (G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ 為 McAlister 三元組，則 ${\displaystyle P(G,{\mathcal {X}},{\mathcal {Y}})}$ 為 ${\displaystyle E}$-純逆半群。另一方面，${\displaystyle E}$-純逆半群同構於上述類型之一。

${\displaystyle F}$-逆半群

逆半群稱 ${\displaystyle F}$-逆半群若任意元在自然偏序意義下均擁有唯一極大元，即所有 ${\displaystyle \varsigma }$-類均擁有極大元。${\displaystyle F}$-逆半群均為 ${\displaystyle E}$-純幺半群。McAlister 覆蓋定理由 M. V. Lawson 精簡敘述如下：

定理 — 逆半群均具 ${\displaystyle F}$-覆蓋。

McAlister ${\displaystyle P}$-定理能夠良好表徵 ${\displaystyle F}$-逆半群。McAlister 三元組 ${\displaystyle (G,\,{\mathcal {X}},\,{\mathcal {Y}})}$ 為 ${\displaystyle F}$-逆半群，當且僅當 ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 的主理想且 ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ 為半格。

與範疇論的聯繫

上文中集合上偏變換的複合得到了交換逆半群，下面闡述另一種複合偏變換的形式，約束力更強：兩偏變換 ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ 可複合當且僅當 ${\displaystyle \alpha }$ 的像完全等於 ${\displaystyle \beta }$ 的定義域，否則稱複合 ${\displaystyle \alpha \beta }$ 未定義。

採用替換後的複合定義，所有集合上的偏一一變換總體不構成逆半群，而在範疇意義上構成誘導群胚。

逆半群和到處群培之間的密切聯繫體現於 Ehresmann-Schein-Nambooripad 定理，該定理指明，導出群胚總能經由逆半群構造，反之亦然。^[1]更準確地說，逆半群嚴格地是偏序集範疇中的一個群胚，這是關於其（對偶）Alexandrov 拓撲的 étale 群胚，且其對象的偏序集為交半格。

逆半群的推廣

按前述記號，逆半群 ${\displaystyle S}$ 限制於：

1. ${\displaystyle S}$ 為正則半群；
2. ${\displaystyle S}$ 中的冪等元交換。

對逆半群來說，這就引出兩條不同的推廣方式，即保留其中一個限制而取消另一個。

逆半群的正則推廣有下例：

• 正則半群：半群 ${\displaystyle S}$ 正則，當其任意元均有逆。或者符號化敘述為 ${\displaystyle \forall a\in S,\,\exists x\in S(axa=a)}$.
• 局部逆半群：正則半群 ${\displaystyle S}$ 局部逆，，若對某個冪等元 ${\displaystyle e}$ 有 ${\displaystyle eSe}$ 為逆半群。
• 保守半群：正則半群 ${\displaystyle S}$ 保守，若其冪等元子集構成子半群。
• 廣義逆半群：正則半群稱廣義逆半群，若其冪等元構成正規帶，即對任意冪等元 ${\displaystyle x,\,y,\,z,}$ 有 ${\displaystyle xyzx=xzyx}$.

廣義逆半群類為局部逆半群類與保守半群類的交。^[6]

逆半群的非正則推廣有：^[18]

• 左/右/雙邊 適半群。
• 左/右/雙邊 充半群。
• 左/右/雙邊 半適半群。
• 弱 左/右/雙邊 充半群。

逆範疇

逆運算這一記號亦可拓展到範疇上。逆範疇即其任意態射 ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} (X,\,Y)}$, 均對應唯一逆 ${\displaystyle g\in \operatorname {Hom} (Y,\,X)}$, 使得 ${\displaystyle fgf=f,\,gfg=g=g}$. 易知逆範疇自對偶。典例即集合範疇及其上的偏雙射。

逆範疇在理論計算機科學里已有部分應用。