鄒賽爾數

鄒賽爾數（Zeisel number）是一種無平方數因數的數，而且至少有三個質因數可以用下式表示^[1]：

${\displaystyle p_{x}=ap_{x-1}+b}$

其中 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是整數的係數，而 ${\displaystyle x}$ 為在因數分解後將質因數由小到大排列後所得的編號，另外令 ${\displaystyle p_{0}=1}$。頭幾個鄒賽爾數是：

105, 1419, 1729, 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, 31929, 54205, 59081, 114985, 207177, 208681, 233569, 287979, 294409, 336611, 353977, 448585, 507579, 982513, 1012121, 1073305, 1242709, 1485609, 2089257, 2263811, 2953711, … （OEIS數列A051015）.

以1729為例，1729是鄒賽爾數，對應的係數是 ${\displaystyle a}$ = 1 和 ${\displaystyle b}$ = 6。其質因數7、13和19可以用下式表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}=7,&{}\quad p_{1}=1p_{0}+6\\p_{2}=13,&{}\quad p_{2}=1p_{1}+6\\p_{3}=19,&{}\quad p_{3}=1p_{2}+6\end{aligned}}}$

若${\displaystyle 6m+1,12m+1,18m+1}$都是質數，則其乘積${\displaystyle (6m+1)(12m+1)(18m+1)}$會是卡邁克爾數。1729 = 7 × 13 × 19 ，是${\displaystyle m=1}$的例子，此公式也滿足鄒賽爾數的公式（a = 1, b = 6m），這類的數也是鄒賽爾數，以下是這類同時是鄒賽爾數和卡邁克爾數的例子：

1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, … （OEIS數列A33502）

鄒賽爾數是得名自Helmut Zeisel，建立MathPages的Kevin Brown曾經提問，除了1, 3, 7, 237以外，是否有其他整數k使得2^k−1 + k為質數，Helmut Zeisel在1994年2月25日回覆，${\displaystyle k=1885}$符合此條件^[2]。Brown研究此數字，發現了一個有關質數的特性（符合a = 2, b = 3的條件），因此將這種性質的數命名為鄒賽爾數。