閉值域定理

閉值域定理是數學中的巴拿赫空間理論中的一個定理，給出了閉合稠定線性算子（closed（英語：Closed graph property）Densely defined operator（英語：Densely defined operator））的值域為閉集的充要條件。這一定理由斯特凡·巴拿赫於1932年在《線性算子理論》（Théorie des opérations linéaires）一文中給出了證明。

設X與Y為巴拿赫空間，若T : D(X) → Y是一個閉合的線性算子，它的定義域D(X)在X中稠密，而${\displaystyle \scriptstyle {T'}}$是它的轉置算子。則定理指出，如下四個結論等價：

• ${\displaystyle \scriptstyle {T}}$的值域（像）${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {Im} (T)}}$是${\displaystyle \scriptstyle {Y}}$中的閉集。
• ${\displaystyle \scriptstyle {T'}}$的值域${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {Im} (T')}}$是${\displaystyle \scriptstyle {X}}$的對偶空間${\displaystyle \scriptstyle {X'}}$中的閉集。
• ${\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\operatorname {Ker} (T')^{\perp }=\{y\in Y|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad x^{*}\in \operatorname {Ker} (T')\}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Im} (T')=\operatorname {Ker} (T)^{\perp }=\{x^{*}\in X'|\langle x^{*},y\rangle =0\quad \forall \quad y\in \operatorname {Ker} (T)\}.}$

此定理有一些直接的推論。比如，當且僅當算子的轉置存在連續的逆算子時（continuous inverse），存在一個稠定線性算子T使得Im(T) = Y。相似地，當且僅當T存在連續的逆算子時，${\displaystyle \scriptstyle {\operatorname {Im} (T')=X'}}$。

另見

• 線性代數基本定理

參考來源

• Yosida, K., Functional Analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences)，vol. 123 6th, Berlin，New York: Springer-Verlag, 1980.