閾值定理

在量子計算中，閾值定理（或稱量子容錯定理）指出，如果量子計算機的物理錯誤率低於某個特定閾值，通過應用量子糾錯機制，可以將邏輯錯誤率抑制到任意低的水平。這表明量子計算機可以實現容錯計算，類似於馮·諾伊曼（英語：John von Neumann）關於經典計算的閾值定理^[1] 。這一結果由多里特·阿哈羅諾夫（英語：Dorit Aharonov）和邁克爾·本-奧爾（英語：Michael Ben-Or）的研究小組；^[2] 伊曼紐爾·克尼爾（英語：Emanuel Knill）、雷蒙德·拉弗拉姆（英語：Raymond Laflamme）和沃伊切赫·祖瑞克（英語：Wojciech H. Zurek）；^[3] 以及阿列克謝·基塔耶夫（英語：Alexei Kitaev）^[4] 等人獨立證明。 這些成果建立在彼得·肖爾（英語：Peter Shor）的一篇論文^[5] 的基礎之上，該論文證明了閾值定理的一個較弱版本。

解釋

閾值定理解決的關鍵問題是，量子計算機在實踐中是否能夠執行長時間的計算而不會受到噪聲的破壞。由於量子計算機無法完美地執行量子門操作，一些微小的恆定錯誤是不可避免的；理論上，這可能意味着帶有不完美量子門的量子計算機在計算被噪聲破壞之前只能應用恆定數量的量子門。

出乎意料的是，量子閾值定理表明，如果執行每個量子門的錯誤率是一個足夠小的常數，人們就可以以任意高的精度執行任意長時間的量子計算，而只需在量子門數量上增加一些少量的額外開銷。閾值定理的正式表述取決於所考慮的糾錯碼類型和錯誤模型。由邁克爾·尼爾森（英語：Michael Nielsen）和艾薩克·莊（英語：Isaac Chuang）合著的《量子計算與量子信息》^[6]一書給出了此類定理的一般框架：

量子計算閾值定理^[6]:481： 一個包含 ${\displaystyle n}$ 個量子比特和 ${\displaystyle p(n)}$ 個量子門的量子線路，可以在硬件組件失效率至多為 ${\displaystyle p}$ 的情況下，以至多為 ${\displaystyle \varepsilon }$ 的錯誤概率進行模擬，其所需的量子門數量為 $${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log ^{c}(p(n)/\varepsilon )p(n))}$$（其中${\displaystyle c}$為某個常數），前提是 ${\displaystyle p}$ 低於某個常數閾值 ${\displaystyle p<p_{\rm {th}}}$，並且對底層硬件中的噪聲做出了合理的假設。

經典計算的閾值定理具有與上述量子計算閾值定理相似的形式，只不過是針對經典線路而非量子線路。量子計算閾值定理的證明策略與經典計算相似：對於任何特定的錯誤模型（例如，每個量子門以獨立的概率${\displaystyle p}$失效），使用糾錯碼來利用現有量子門構建更好的量子門。儘管這些「更好的量子門」更大，因此更容易在內部產生錯誤，但它們的糾錯特性意味着它們發生故障的概率比原始量子門更低（前提是${\displaystyle p}$是一個足夠小的常數）。然後，人們可以利用這些更好的量子門遞歸地創建出性能更佳的量子門，直到獲得具有期望失效率的量子門，這些量子門便可用於所需的量子線路。正如量子信息理論家斯科特·阿倫森（英語：Scott Aaronson）所說：

「閾值定理的全部內容在於你糾正錯誤的速度比錯誤產生的速度更快。這正是整個定理的要點，也是該定理所展示的全部非平凡之處。這就是它解決的問題。」^[7]

實踐中的閾值

目前估計，表面碼的閾值大約在1%的量級，^[8] 儘管估計值範圍很廣，並且由於模擬大型量子系統的指數級難度而難以計算^[9][a]。在0.1%的物理退極化錯誤率假設下，表面碼為實現一個高保真度的邏輯量子比特，根據所需糾錯強度（由編碼距離${\displaystyle d}$衡量，物理比特數約正比於${\displaystyle d^{2}}$）以及是否包含魔術態蒸餾等通用計算的均攤資源，估計需要1,000到10,000個物理量子比特^[10]。然而，這一估算基於簡化的錯誤模型；諸如相干錯誤、非馬爾可夫噪聲、關聯錯誤或量子比特泄漏等更符合物理現實的「病態」錯誤類型，因其能以標準表面碼難以應對的方式累積或引發錯誤，故可能顯著增加實際所需的物理比特數量或降低糾錯性能。

參見

• 量子糾錯機制
• 物理量子比特和邏輯量子比特
• 容錯量子計算