阿佩爾序列

在數學中，阿佩爾序列是得名於十九世紀法國數學家保羅·埃米爾·阿佩爾（Paul Émile Appell）^[1]的一類多項式序列 {p_n(x)}_{n = 0, 1, 2, ...}。阿佩爾序列滿足以下關係：

${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

其中的 p₀(x) 是非零常數。

除了一些平凡的例子如 { xⁿ } 以外，最值得注意的阿佩爾序列是埃爾米特多項式、伯努利多項式以及歐拉多項式。所有的阿佩爾序列都是謝弗序列，但要注意的是絕大多數謝弗序列都不是阿佩爾序列。

等價的阿佩爾序列定義方式

最常見的阿佩爾序列的定義就是以上的

• 對所有的 n = 1, 2, 3, ...,

  ${\displaystyle {d \over dx}p_{n}(x)=np_{n-1}(x),}$

  並且 p₀(x) 是一個非零常數

的關係式。此外，以下的條件也可以被驗證是與之等價的：

1. 純數數列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 滿足 c₀ ≠ 0，並且

   ${\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}c_{k}x^{n-k};}$

2. 純數數列 {c_n}_{n = 0, 1, 2, ...} 滿足 c₀ ≠ 0，並且

   ${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n},}$

   其中 ${\displaystyle D={d \over dx};}$

3. 對所有的 n = 0, 1, 2, ...,

   ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}p_{k}(x)y^{n-k}.}$

遞歸公式

假設

${\displaystyle p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n}=Sx^{n},}$

其中後一個等式是在以x為不定元的多項式構成的線性空間中的線性算子 S 的定義式。並定義：

${\displaystyle T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}}$

為 S 的逆算子，其中的係數 a_k 是形式冪級數的逆係數。這樣得到

${\displaystyle Tp_{n}(x)=x^{n}.\,}$

在影子演算的約定中，算子 T 一般被用來代表阿佩爾序列 {p_n}，可以定義對數算子：

${\displaystyle \log T=\log \left(\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k} \over k!}D^{k}\right)}$

運用通常的 log(1 + x) 的冪級數展開表達式以及通常的複合形式冪級數定義後，可以得到：

${\displaystyle p_{n+1}(x)=(x-(\log T)')p_{n}(x).\,}$

當阿佩爾序列是埃爾米特多項式的時候，這個關係式也可以變化為埃爾米特多項式的遞推公式。

參見

• 謝弗序列
• 影子演算
• 廣義阿佩爾多項式
• Wick積