阿貝爾不等式

阿貝爾不等式（Abel's inequality），由尼爾斯·阿貝爾（挪威語：Niels Henrik Abel）提出，給出了兩個向量內積絕對值的上界。

設{a₁, a₂,...}為單調遞減或單調遞增的實數集並設{b₁, b₂,...}為實數集或複數集。

如果{a_n}單調遞增：

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|+a_{n}-a_{1}),}$

${\displaystyle B_{k}=b_{1}+\cdots +b_{k}.}$

如果{a_n}單調遞減：

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|-a_{n}+a_{1}),}$

阿貝爾不等式可從阿貝爾變換輕易得出：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k+1}-a_{k}).}$

參考資料

• 埃里克·韋斯坦因. Abel's inequality. MathWorld.
• Abel's inequality （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in Encyclopedia of Mathematics.