阿貝爾求和公式

阿貝爾求和公式是由尼爾斯·阿貝爾所發現，廣泛應用於數論之中，以便用來計算級數。

恆等式

設${\displaystyle a_{n}}$為一列由實數或複數，${\displaystyle \phi }$是一個連續可導函數，則

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u}$

其中${\displaystyle A(x)}$是部分和

${\displaystyle A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.}$

而且這正是對黎曼－斯蒂爾傑斯積分運用分部積分法所得到的。

更一般情況，有

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}$

例

歐拉-馬斯刻若尼常數

設${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}}$，則${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$，恆等式變為

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,}$

因此是一種可以表示歐拉-馬斯刻若尼常數的方式。

黎曼ζ函數的表示

設${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$，則${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$，故

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

公式在${\displaystyle \Re (s)>1}$時成立，並且可以用來推導狄利克雷定理，其斷言，若以${\displaystyle \zeta }$表示黎曼ζ函數，則${\displaystyle \zeta (s)}$在s = 1處有留數為1的簡單極點。

黎曼ζ函數的倒數

設${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$，${\displaystyle \mu }$為默比烏斯函數，且${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$，則${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$，故${\displaystyle A}$為梅滕斯函數，而恆等式變成

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

上式在${\displaystyle \Re (s)>1}$時成立。

參見

• 分部積分法
• 黎曼ζ函數

參考文獻

• Apostol, Tom, Introduction to Analytic Number Theory, 數學大學生教材, Springer-Verlag, 1976.