隨機測度

在概率論中，隨機測度是測度值的隨機元素。 隨機測度可應用於隨機過程理論中，隨機測度形成了許多重要的點過程，例如泊松點過程和考克斯過程（英語：Cox process）。

定義

隨機測度可以定義為轉移核或隨機元素。對於一些標準情況（其中的具體要求如可測空間是博雷爾空間），這兩種定義是等價的。

作為轉移核

對於可測空間 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$ ，稱 ${\displaystyle \zeta }$ 是一個 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ 到 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ 的轉移核，是指它是一個二元函數 ${\displaystyle \zeta :S\times {\mathcal {T}}\to \mathbb {R} ^{+}}$ （值域可能根據考慮的測度的類型而改變，如有符號測度），且滿足以下性質：

• 若在第二變元處填充任一固定的可測集 ${\displaystyle B\in {\mathcal {\mathcal {S}}}}$ ，所得到的映射 ${\displaystyle s\mapsto \zeta (s,B)}$ 是 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ 上的可測函數。

• 若在第一變元處填充任一固定的元素 ${\displaystyle s\in S}$ ，所得到的映射 ${\displaystyle B\mapsto \zeta (s,B)}$ 是 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ 上的一個測度。

對於 ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$ 為博雷爾空間的情況，局部有限轉移核可視作隨機元素。

隨機測度則定義為一個概率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ 到一個可測空間 ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ 的（幾乎必然）局部有限轉移核。

在隨機過程的背景下，馬爾可夫核（也稱隨機核、概率核）的概念與此相關。

作為隨機元素

在前文中，「在第一變元處填充一固定的元素」的結果是得到了一個測度。實際上填充這個變元過程本身所給出的映射也是一個^{[註 1]} ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ 到 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}}$ 的可測函數，其中 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}}$ 是 ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ 上的局部有限測度所構成的空間。

全體局部有限測度構成的集合 ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}}$ 若要構成可測空間，須配備一個σ-代數。

對於任一有界可測集合 ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ ，可定義求值映射（也稱投影映射）

${\displaystyle \pi _{\tilde {B}}:{\mathcal {M}}_{\mathcal {T}}\to \mathbb {R} :\mu \mapsto \mu ({\tilde {B}}).}$

可構造出令全體投影映射成為可測函數的最小σ-代數，稱為 ${\displaystyle \{\pi _{\tilde {B}}\}}$ 生成的（或誘導的）σ-代數。

隨機測度即是一個概率空間 ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ 到測度所構成的上述可測空間的隨機元素。^[1][2][3]

基本相關概念

強度測度

對於給定隨機測度 ${\displaystyle \zeta }$ 和任一正可測函數 ${\displaystyle f}$ ，滿足

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right]=\int f(x)\;\operatorname {E} \zeta (\mathrm {d} x)}$

的測度 ${\displaystyle \operatorname {E} \zeta }$ 被稱為 ${\displaystyle \zeta }$ 的強度測度。強度測度對於每個隨機測度都存在，並且是s-有限測度。

支撐測度

對於給定的隨機測度 ${\displaystyle \zeta }$ 和任一正可測函數 ${\displaystyle f}$ ，滿足

${\displaystyle \int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)=0{\text{ a.s. }}{\text{ iff }}\int f(x)\;\nu (\mathrm {d} x)=0}$

的測度 ${\displaystyle \nu }$ 被稱為 ${\displaystyle \zeta }$ 的支撐測度。所有隨機測度都有支撐測度，並且可以選擇為有限的。

拉普拉斯變換

給定隨機測度 ${\displaystyle \zeta }$ ，可定義任一正可測函數 ${\displaystyle f}$ 的拉普拉斯變換如下

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\zeta }(f)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int f(x)\;\zeta (\mathrm {d} x)\right)\right].}$

基本性質

積分的可測性

給定隨機測度 ${\displaystyle \zeta }$ ，正的 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$-可測函數 ${\displaystyle f}$ 的積分

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

和${\displaystyle \zeta (A):=\int \mathbf {1} _{A}(x)\zeta (\mathrm {d} x)}$

是可測的，所以它們是隨機變量。

唯一性

隨機測度的分布由以下一族積分的分布唯一確定

${\displaystyle \int f(x)\zeta (\mathrm {d} x),}$

其中 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle E}$ 上的緊支撐連續函數。對於給定的一個生成 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ （即 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {I}})={\mathcal {E}}}$ ）的半環 ${\displaystyle {\mathcal {I}}\subset {\mathcal {E}}}$ ，隨機測度的分布也由所有正簡單 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$-可測函數 ${\displaystyle f}$ 唯一確定。^[4]

分解

一個測度通常可以分解為：

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

這裡 ${\displaystyle \mu _{d}}$ 是彌散測度，而 ${\displaystyle \mu _{a}}$ 是一種純原子測度。

隨機計數測度

具有下列形式的隨機測度稱為點過程或隨機計數測度：

${\displaystyle \mu =\sum _{n=1}^{N}\delta _{X_{n}},}$

其中 ${\displaystyle \delta }$ 是狄拉克測度、 ${\displaystyle X_{n}}$ 是隨機變量。該隨機測度描述了${\displaystyle N}$ 個粒子的集合，其位置由（通常是向量值的）隨機變量 ${\displaystyle X_{n}}$ 給出。計數測度沒有彌散分量 ${\displaystyle \mu _{d}}$ 。

在上述的形式記號中，隨機計數測度是從概率空間到可測空間 ${\displaystyle (N_{X},{\mathfrak {B}}(N_{X}))}$ 的映射。這裡 ${\displaystyle N_{X}}$ 是全體有界有限整數值測度（稱為計數測度）${\displaystyle N\in M_{X}}$ 所構成的空間。

期望測度、拉普拉斯泛函、矩測度和隨機測度的平穩性的定義是基於點過程的定義。隨機測度在蒙特卡羅方法的描述和分析中很有用，例如蒙特卡羅數值求積法和粒子濾波器。^[5]

參見

• 泊松過程
• 向量測度

參考資料

• Grandell, Jan. Point processes and random measures. Advances in Applied Probability. 1977-09, 9 (3): 502–526. doi:10.2307/1426111.