雅可比坐標

在多體系統的研究中，常用雅可比坐標來簡化數學計算。這一坐標系統可以用於多個領域，尤其是天體物理^[3]，以及多原子分子和化學反應^[4] 。一個用於N體問題建立雅可比坐標的算法是利用二叉樹^[5]。這一算法可以這樣描述：

質量分別為m_j和m_k的兩個物體用一個質量為M = m_j + m_k的虛擬物體代替。同時，用相對坐標向量r_jk = x_j − x_k和質心坐標向量R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k)來替代兩個物體原來的坐標向量x_j和x_k。二叉樹中的一個節點即為這一虛擬物體。它有兩個子節點，左子節點為m_k，右子節點為m_j。對N-1個物體重複以上步驟。

二體問題的雅可比坐標系為質心坐標 ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ 和相對坐標 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ；其中，${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$ ^[1]。

四體問題一個可能的雅可比坐標系。r₁, r₂, r₃為雅可比坐標，R為質心。^[2]

四體問題的結果是^[2]：

${\displaystyle {\boldsymbol {r_{1}=x_{1}-x_{2}}}\ ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r_{j}}}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ -\ {\boldsymbol {x_{j+1}}}\ ,}$

其中：

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

向量R是所有物體的質心：

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {1}{m_{0}}}\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ ;}$   ${\displaystyle m_{0}=\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}\ .}$